Nun ist 



Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. li) 



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S* v . 



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wo SA' = &„-»-&, + ... + V-« ist; ferner 





Somit erhält man, da 



F(A V A t . . . A m . . . 4*> . . . ) =p°F( ai , a i . . . a, n . . . a« . . . ) 



wo 



K + />',+ . . • + Äv-i — j m (m — 1) 



gesetzt wurde. Es ist also 



F[P a i > P i( *t ■ ■ -P'"a (j) ! '+ x a[')) . . .] 



= p°F(a v a t . . . a,„ . . . a« . . . ) 



Da mmp eine willkürliche Grösse ist, so ist F(a v a i ...a m ...a\ i > ... ) jenem Aggregat von Gliedern in der 

 Entwickelung links gleich, deren jedes mit^ J multiplicirt erscheint. Die ganze Function 



F(a lf a t . . . a ajjO . . . ) 



hat also die Eigenschaft, dass p a als Factor in jedem ihrer Glieder heraustritt, wenn man in derselben für 

 a x :pa v a 2 : p % a t . . . a$ : pff^ «^ • • setzt. Nennt man daher, wie in III, i + 1 das Gewicht von oM und die 

 Summe der Gewichte der einzelnen Factoren eines Productes dessen Gewicht, so hat man den Satz: 



Die Glieder der obigen ganzen Function F(a l , a 2 ... aj^...) haben das nämliche Gewicht, und zwar 

 beträgt dasselbe 



a = k + Ä:, + . . + k v ,_ l — ^m{m — 1) 



= k + k t + . . + kp-i — \ixn(in — 1) 



Ist speciell k = 0, &, = 1 .../ 1(J ._i = p. — 1, so ist das Gewicht 



ll>0 — !)— pi{m — 1)]. 



TU. 



Ich will nun die vorangehenden allgemeinen Auseinandersetzungen auf einige specielle Fälle an- 

 wenden. 



1) Es sei zunächst m = 2 und n eine beliebige ganze positive Zahl. Es soll nun auf die Determinante 



sii/i'Q/r 1 ^)'- • <W* 



zunächst die Formel IV angewandt werden. 



