Zur Theorie der linearen Differenticilgleichungen. 



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Somit ist die obige Determinante gleich der Summe folgender sechs Determinantennroducte, jedes multi- 

 plicirt mit einem numerischen Coefficienten: 



(2±yy i ^»GE±yy t j^)(S±y 1 ^y«); S ± y,^\2 ± y y^V 



Die numerischen Coefficienten können entweder durch die Formel oder ähnlich wie vorher, durch specielle 

 Annahmen der y v y z , y 3 berechnet werden, welche sechs zwischen den Coefficienten unabhängige Gleichungen 

 liefern. 



Die obige Determinante D ist nach III gleich einem Producte von der Form 



wo F eine ganze Function der «,, a 2 , a 3 und ihrer Differentialquotienten ist, deren jedes Glied nach VI, 2 

 das Gewicht a = 3 besitzt. Somit hat F die Form: 



F = ?n l a\ + Wg o, « 2 + w 3 a 3 + ?« 4 o" 4- m s o, o, + m 6 a^ , 



wo die ot numerische Coefficienten bedeuten, die am einfachsten aus der Gleichung für D durch specielle 

 Annahmen berechnet werden. Man erhält auf diese Weise 



Ist nun 



F= — 8-2^ + 8-90,0^ — 8-27a 3 + 4-9a 1 a' 1 — 4-27o' 2 — 4- 9a?. 

 ^of + iOjOij+Oj — Jo,o' t — io' z + Jo'/=:0 



(1) 



so verschwindet die Determinante 



^±y\(y^)'(fj' ■ ■ ■ (y^, 



welche die nothwendige und hinreichende Bedingung ausdrückt, damit zwischen y v y t , y 3 eine homogene 

 quadratische Relation^mit constanten Coefficienten besteht, also eine Gleichung von der Form: 



C ll2/l + 2c i22/^2 + C iiy\ + 2c i32/l^3 + 2c 23^3 + <b9s = ' 



Durch eine lineare Substitution kann man aber dieselbe immer überführen in die Relation 



wo z v z v z 3 , weil sie aus y v y v y 3 durch eine lineare Substitution mit nicht verschwindender Determinante 

 erhalten werden, ebenfalls die Elemente eines Fundamentalsystems sind. Setzt man nun z t = >jj, z z = r? v so 

 wird z 3 — v^. Nach dem Vorhergehenden lässt sich sowohl die Determinante von t? v vj,v; 2 , »?*: 



(*D' ; (W ; «y 



als auch jede aus ihr durch Differentiation irgend welcher Zeilen entstandene, durch die Determinante von vj, 

 und vj 2 und durch die Coefficienten der Differentialgleichung der Uten Ordnung ausdrücken, für welche ij, 

 und vj 2 die Elemente eines Fnndamentalsystems sind. Stellen also* z i = i)\, z % = ??i;, 2 3 = *;, >j a die Elemente 

 eines Fundamentalsystems der Gleichung 



y»i + «y + ( h y' + o 3 </ = 

 dar, so lassen sich a v a v a 3 durch die Coefficienten der Gleichung 



■n" — 6,v/ + V • • • 



(2) 

 (3) 



