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 Irouvc, ou (lu moins pcul-on le craindre, dans le cas d(; 

 douter élerncllemonl si les racines que l'on poursuit sonl réelles 

 et égales, ou réelles et inégales, mais jusqu'alors non sépa- 

 rées , ou même enfin imaginaires, mais non encore exclues des 

 limites qui leur permettent de communiquer des a ariations à 

 l'équation et à ses transformées. 



A la vérité encore , on peut se délivrer de cette crainte en 

 commençant pa? décomposer le polynôme en d'autres qui 

 n'aient que des facteurs simples. Mais , obligé pour cela de 

 recourir à la méthode ordinaire des racines égales, opération 

 longue et pénible, dont la nature est d'élever continuellement 

 l'ordre des cliiffrcs auxquels le calcul donne lieu , on perd tout 

 le bénéfice do la déduction si simple des transformées suc- 

 cessives. 



Frappé de cet inconvénient dont je ne me dissimulais pas la 

 gravité , j'ai dû m'occuper de le détruire ; et pour cela , j'ai 

 cherché s'il ne serait pas possible d'assigner au nombre des 

 transformées une limite passé laquelle cessât toute incer- 

 titude sur la nature des racines. J'ai reconnu que la question se 

 réduisait à obtenir une formule simple au moyen de laquelle 

 on pût lire comme intuitivement sur l'équation donnée, une 

 limite inférieure des racines réelles, tant positives que néga- 

 tives, de l'équation aux carrés des différences de celles de la 

 proposée. 



Or, précisément, M. Cauchy a donné une pareille formule 

 dans le ks- volume de ses Exercices malhématiques {page 121). 

 Avant de la connaître , j'en avais de mon coté trouvé une, moins 

 simple à la vérité, et moins avantageuse dans la pratique; 

 toutefois comme sa détermination est fondée sur des considé- 

 rations que l'on regarde ordinairement comme plus élémen- 

 taires, attendu qu'elles sonl entièrement indépendantes de la 

 théorie dos niodulos dos expressions imaginaiios, (jui nosl pas 

 encore gonéralomonl admise , je me hasarderai à la présenter. 



