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Reihe von Aggregaten, welche mit a^^ gleichbezeichnet erscheinen, und zu x^ hinzugezählt, die in Rechnung 

 stehende Wurzel desto besser darstellen , in je grösserer Anzahl dieselben zur Verwendung gelangen. In 

 numerischer Beziehung bilden die Näherungswerthe a-,, x^, x^,...x^, x^+i eine steigende Reihe, und nähern 

 sich der Wurzel desto mehr, je grösser ihr Zeiger ist. 



l) In dem Falle aber, wo von x^ ans, für numerisch wachsende x-Werthe, die derivirte /, (x) eine 

 numerische Zunahme beurkundet, bieten die Newton'schen Orientirungsquotienten bei der Bestimmung der 

 numerisch steigenden Näherungswerthe x^, x^, x^,... in dem Masse numerisch zu grosse Aggregate , je 

 rascher die Zunahme von /,(a-) vor sich geht. Bei einer erheblich raschen Zunahme von fiix) geht die 

 Bestimmung der Wurzelaggregate in ein förmliches Tappen über, und man könnte leicht geneigt sein, der 

 Newton'schen Methode ihren gehörigen Werth abzusprechen. Gibt man jedoch das Bestreben auf, den 

 Näherungswerthen x^, x^, x.^. . . die Eigenschaft aufzuzwingen , dass selbe durch numerische Zunahme an 

 den wahren Wurzelwerth immer näher und näher rücken; — wenn man vielmehr zufolge der diesfällig dem 



Orientirungsquotus inhaftenden Beschaffenheit das Aggregat Q^ zu gross annimmt, so erhält man in numeri- 

 scher Beziehung x^>x, und wird in weiterer Folge genüthigt sein, die Rechnung in der Art fortzusetzen, 

 dass die Näherungswerthe x^, x^, x^, . . . durch fortgesetzte numerische Abnahme an den wahren Wurzel- 

 werth immer näher und näher treten. Bei der Fortsetzung der diesfälligen Operation wird der Ausdruck/, (a-) 

 eine Abnahme beurkunden , und die weiteren Orientirungsquotienten gelangen demgemäss bei der Bestim- 

 mung der nun entgegengesetzten Aggregate zur entschiedenen Geltung. 



c) In den Fällen, wo mehrere Anfangsstellen nicht einer einzelnen, sondern mehreren, etwa r Wurzeln, 



der Gleichung f{x)= gemeinschaftlich angehören, bildet der Orientirungsquotus Q^ durchaus keinen An- 

 haltspunkt, und erscheint zur Bestimmung der decadischen Wurzelaggregate völlig unfähig. Dies sind Er- 

 scheinungen, welche die Newton'sche Methode in völligen Misscredit brachten, ja für eine völlige Verwerf- 

 lichkeit derselben sprachen. 



Wenn man aber bedenkt, dass in diesen Fällen in Bezug auf die gemeinschaftlichen Anfangsstellen die 

 betreffenden r Wurzeln der Gleichung /(a-) = als einander gleich angesehen werden können ; wenn mau 

 weiter erwägt, dass eben diese Erscheinung in Bezug auf die derivirten Gleichungen : 



/,H = 0, /.H = 0, .../_,(x) = 0, /_,(x) = 



sich derart maniiestirt, dass die gemeinschaftlichen Anfangsstellen in der ersten bei {r — 1) Wurzeln, in der 

 zweiten bei (?•— -2), in der dritten bei (?■— 3) . . in der vorletzten bei zwei, und in der letzten bei einer ein- 

 zigen Wurzel sich kundgeber, ; wenn man ferner auch des Umstandes gedenkt , dass diese Erscheinung in 

 Beziehung auf die Werthe der Polynome/, (ar), f^ix), /,(«).. ./_2(a;) , /,_,(a;) eine gesetzmässige Depres- 

 sion in den Anfangsstellen in der Weise bewirkt , dass diese Werthe um desto rascher gegen die Nulle zu 

 convergiren, einem je kleineren Derivationszeiger sie angehören, — so wird man bald gewahr, dass zur Er- 

 mittlung der erwähnten mehren Wurzeln gemeinschaftlich angehörigen Aggregate, die Newton'sche Methode 

 erst bei der Gleichung /_i(a;) = Ü in ihre vollen Rechte tritt, weil die erwähnten Anfangsstellen in dieser 

 Gleichung nur einer einzigen Wurzel angehören. 



In diesem Falle wird man nicht den Ausdruck Q^^, sondern vielmehr den Ausdruck: 



a_,=/-.(-r) :/.(*■) 



als den Newton'schen Orientirungsquotus ausersehen, und denselben zur Ermittlung der successiven Wurzel- 

 aggregate so lange verwenden , in so lange die oberwähnte gesetzmässige Dei)ression der Anfangsstellen in 

 Bezug auf die Functionswerthe /(«) , /(x) , /i,(x),. . ./,_i(a-) sich bethätigt. Von der Stelle angefangen, 

 welche die erwähnte gesetzmässige Depression nicht bewirkt, erhalten die /• Wurzeln einzeln oder gruppen- 



