Studien im Gebilde mimerischer Gleichungen. 219 



weise verschiedenartige Folgeglieder, werden somit mittelst passender Orientirungsquotienten Q,_s von ein- 

 ander getrennt und der weiteren Rechnung unterworfen. 



In allen sub a) h) c) angeführten Fällen bietet die Newton'sche Methode genügende Auskunft, um sich 

 der in Rechnung stehenden Wurzel mit jeder erwünschten Genauigkeit zu nähern und ist nur in der einzigen 

 Beziehung als mangelhaft anzusehen, dass man mittelst derselben nicht erfährt, wie viele von den Anfangs- 

 stellen des in Verwendung stehenden Orientirungsquotus als ein wirkliches Wurzelaggregat zu gelten haben. 



Erst der Mathematiker Fourier hat der Newton'schen Methode eine solche Vervollkommnung ver- 

 liehen, dass man mit Hilfe seiner Methode bei jedem einzelnen Orientirungsquotus ganz genau erfahrt, bis 

 zu welcher dekadischen Stelle die Darstellung der Wurzel bereits gediehen ist. Das einschlägige, von Fou- 

 rier begründete Verfahren besteht im Folgenden: 



Sei etwa x,. ein derartiger Näheruugswerth, welcher in allen seinen Stellen mit den .\nfangsstei!en der 

 Wurzel übereinstimmt, und iv eine Zahl, welche aus Xr durch Vermehrung der decadischen Schlussstelle um 

 eine Einheit hervorgeht, dergestalt, dass man beispielweise für x^ = 32-576, x^ = 32-577 findet, so wird 

 ganz gewiss der wahre Werth der Wurzel zwischen x,. und x^ zu liegen kommen. 



Bezeichnet man ganz allgemein von den Grössen /; (.r), f,{x) , die numerisch grössere mit/, (a;) , und 

 die numerisch kleinere fi{x), so erhält man: 



sobald man: Xr — Xr= lO"" voraussetzt, und den Werth von k aus : 



tn 7ii' 



M^r) : 2/ (^.) = jöl+r + Jö^ + • • • bestimmt. 



Der in dem Ausdrucke für a;,.^_i beigefügte Zeiger 2n-\-k deutet an, dass man den betreiFenden Quotus 

 blos so weit zu entwickeln habe, bis man die dem decadischen Zeiger ( — 2« — k) entsprechende Ziffer erhält. 



Hieraus ist der Vorgang ersichtlich, wie man von x^ aus nach und nach zu den Gliedern der Reihe x,, 

 a-,, x^,...Xr, iiv+i. .gelangt, und demgemäss jede erwünschte Näherung an den wahren Wurzelwerth be- 

 wirken kann. 



Diese in ihrer Entwicklung sehr elegante und in der Anwendung äusserst einfache Methode hatte Fou- 

 rier aus der Betrachtung der Descartes'schen Curve abgeleitet und zunächst zur Berechnung der primären 

 (reellen) Wurzeln einer Zahlengleichung mit nur einer Unbekannten bestimmt. Die betreffende Entwicklung 

 findet man in dem nach seinem Tode gedruckten Werke : „Analyse des Equations determinees par M. Fou- 

 rier premiere partie" niedergelegt. 



Wenn man aber schon den Titel dieses Werkes, das darin niedergelegte „Expose synoptique« und nebst- 

 dem zahlreiche, im zweiten Capitel niedergelegte Aussagen aufmerksam prüft, so erwehrt man sich nicht der 

 schliesslichen Überzeugung, dass mit dem Tode dieses grossen Denkers eigentlich die vollständige Erledi- 

 gung der meisten, ja vielleicht aller in das Gebiet der Gleichungen einschlägigen theoretischen und prakti- 

 schen Fragen der Nachwelt auf eine längere Zeit vorenthalten ist, dass es des mühevollen Strebens und viel- 

 seitigen Schaffens noch bedürfen wird, um in kleinen Portionen Stufe für Stufe wenigstens einzelne Haupt- 

 punkte dieser Wissenschaft zu erklimmen , welche diesem erhabenen Genius schon bei der Anlage seines 

 Werkes ganz gewiss als eine vollständige Schöpfung zu Tage lag. 



Seite 231, Artikel 37 liest man: 



„Cette remarque n'est point bornee aux fonctions qui ne contiennent qu'une seule variable. On peut en 

 g6neral resoudre la question suivante qui se presente dans les applications principales de l'aualyse algebrique. 

 Une fonction algebrique f(x,y,s...) de plusieurs variables etant proposee. . .etc." Hieraus und aus den 

 betreffenden Stellen p. 227 und andern mehreren ist deutlich zu ersehen, dass es dem Verfasser schon 

 während der Abhandlung der Gleichung mit nur Einer Unbekannten bei jeder sich darbietenden Gelegenheit 



