220 Lorenz Zmurko. 



daran liegt, die Gesichtspunkte und Auffassungen in der Weise zu stellen und vorzubereiten, um selbe seiner 

 Zeit als Überbrückung zu einer Methode dienstbar zu machen, welche anf Systeme von Gleichungen mit 

 mehren unbekannten anwendbar sein sollte. 



Von dieser Überzeugung durchdrungen, habe ich den Entschluss gefasst, meine Studien auf dem Gebiete 

 der Zahlengleichungen vornehmlich jener Partie zuzuwenden, welche die methodische Berechnung der Glei- 

 chuugswurzeln betrifft. Die Methode von Fourier zur Berechnung der primären Wurzeln von Gleichungen 

 mit nur Einer Unbekannten zum Muster nehmend, war es mein Bestreben, dieselbe auf die Berechnung com- 

 plexer Wurzeln einer solchen Gleichung auszudehnen und schliesslich eine Methode aufzustellen, welche zur 

 Berechnung der Wurzeln eines Systems von coexistenten Gleichungen mit mehren Unbekannten sich eignen 

 soll. Ursprünglich habe ich es für zweckmässig erachtet, diese verallgemeinerte Näheruugsmethode unmittel- 

 bar an die Gleichungstheorie von Fourier anzureihen; bald wurde ich jedoch gewahr, dass die derselben zu 

 Grunde liegenden räumlichen Anschauungsweisen in einem zu geringen Maassstabe entwickelt sind, als dies 

 nöthig war, um hieraus die erforderlichen Subsidien zur Begründung der aligemeinen Näherungsmethode 

 schöpfen zu können. Ich habe mich desshalb entschlossen, nach einem solchen Ausgangspunkte mich umzu- 

 sehen, von welchem aus die hauptsächlichsten, bereits bekannt gewordenen Gleichmigstheorien als ein orga- 

 nisches Ganze hervorgehen , um theils sich gegenseitig unterstützend , theils einander ergänzend sich zu 

 einem harmonischen Systeme zu vereinigen. Diesen Ausgangspunkt fand ich einestheils in der Verallgemei- 

 nerung des C au chy'schen Existenzbeweises für wenigstens Eine Wurzel einer Gleichung mit einer Unbe- 

 kannten und in weiterer Folge in der zweckmässigen und gründlichen Ausbildung der von S. Spitzer publi- 

 cirten räumlichen Darstellungsmethode der Gleichungswurzeln. Von da aus war es mir leicht, die von C a u chy 

 angeregten Kriterien einer horizontalen Einschliessung der complexen Wurzelpuukte zu begründen und mit 

 Zuhilfenahme der St urm'schen Restmethode zu einem prägnanten Trcnnungsmittel der Wurzelpunkte aus- 

 zubilden. 



Die Fourier'sche Gleichungstheorie selbst gewann auf Grund der räumlichen Anschauung, nament- 

 lich in Bezug auf die Deutung und Auszählung der complexen Wurzeln eine wesentliche Belebung, und es 

 gelang mir, diese ganze Theorie in einer überraschend kurzen Abhandlung zu verkörpern. Siehe §. 6. 



Im Anhange brachte ich die successive Ausmittelung der Gleichungscocfficienten in zweierlei Weise zur 

 Darstellung, nach Massgabe des Umstaudes, ob bei der Ausmittelung der Wurzel blos EinRechncr oder mehre 

 gleichzeitig thätig sein können. Auch findet man daselbst die Anweisung zur constructiven Ausmitteluug der 

 successiven Coefticientreihen, wie auch eine constructive Näherungsmethode zur Ausmittelung der primären 

 Gleichungswurzeln. Eine zweite constructive Methode zur Bestimipung der primären Gleichungswurzeln auf 

 Grundlage der Bildung der sogenannten Integralcurven. 



Ferner sind in diesem Paragraphe Constructionsmittel angegeben, mittelst welchen man in directer 

 Weise die Lösung aller geometrischen Probleme bewerkstelligen kann , welche von der Auflösung einer, 

 höchstens dem 4. Grade angehörigen Gleichung abhängen, und eben hiedurch ersichtlich gemacht, dass 

 gleichwie die Mathematik nur Gleichungen bis höchstens zum 4. Grade in geschlossenen Ausdrücken zu lösen 

 vermag, auch die geometrische Construction bis dahin fähig sei, Auflösungen zu vermitteln. 



Schliesslich geschieht der Erzeugung der Cycloiden eine Erwähnung und wird gezeigt, wie man sich 

 derselben zur Rectification gegebener Kreisbögen, zur Polysection eines gegebenen Winkels und überhaupt 

 zur Auflösung einiger transcendenten Gleichungen bedienen kann. 



Lemberg am 10. August 1868. 



