Studien ine Gebiete numerischer Gleichungen. 221 



§• 1- 

 Fundamentaleigenschaften der Gleichnngspolynome. 



Sei FW =/(m) + ^>(m) = , vvobei ?•= K— 1 (1) 



eine algebraische Gleicliung, in welcher sowohl /(z<) , als auch o(«) durch Polynome von der Form; 

 j^^ A^u-{- A^u^ -\- ... in endlicher Gliedei-zahl dargestellt sind. 

 Auf Grund der Taylor'schen Reihe findet man : 



worin ganz allgemein: 



F(„ + f .' ) _ f {«) + ijY-f «'■ + ff f ''"' +&, (2) 



und 



^ pe"i" = pCos«jx+ i\c-siu«,a , f ei^' = pcospi + «f siü/ji. = Aa; -|- ^■Ay (4) 



verstanden werden soll. 

 Setzt man eben so : 



©/(«)=/.(..), (ä'.w^t.w. 4-^' <'' 



(6) 



SO erhält man auf Grund des Taylor'schen Satzes in symbolischer Form: 



/, {x + iij) =ß{x) e^"'==f,(x) cos D +ifs(x) sin D 



f,(x + *■?/) = fs(_^) e^' = f »(*) cos D -\- tf,{x) sin Z) , hiemit 



F^(x -j- «y) = « ! (-^s + *'«s) = * '• '^s^ 5t» *' 

 mit den Bedingungsgleichungen : 



s ! Z, = * ! CT, cos a, =/;(«) cos 2) — y,(a;) sin D , 



s\s,=s\G,s,m OL, =flx) sin D + cp.(a;) cos D , (7) 



Die in (6) und (7) spielenden, syml)oli.sch angedeuteten Differentiationen in den Ausdrücken /,(a.) cos X», 

 /.(x) sin Z> , . . . führen uns auf endliche Polynome, deren Glieder der Form : 



angehören , und in diesen Gleichungen ihre hinlängliche Deutung besitzen. Ist etwa in Bezug auf x die 

 Function f(x) dem ?w-ten Grade angehörig, so erhält der Ausdruck -p /.(a;) jedesmal den Nullwerth, so- 

 bald die Ungleichung ?( -f s > m zutrifft. Hiedurch ist die Behauptung gerechtfertigt, dass die in (7) spielen- 

 den Polynome wie y,(ar) cos D , f,{x)s,\\iD je eine endliche Gliederanzahl besitzen. 



Wenn man in (2) an die Stelle von u die complese Grösse x-\-iy setzt, und dann die Ausdrücke 

 F,ix-\-iy) nach [Q) und (7) deutet, so erhält man : 



F{x -f iy + p e^O = F [{x + A o:) -f e' (y + A //)] = 



= (7yeV-|-p5|e^('.+i^)-}-p2c;2e'('-'= + » -(- . . . = Z^^ ik^^ i^^e^^' (^) 



