222 horenz Zmurko. 



wobei: 



(10) .Zj = aCOSäj = <j|,COSag-f (7, cos(a, -|-fx)p + (72COSa(a2-|-2;jL')p'-f • • • 



(1 1) ^0 = «^ sin ä„ = ^0 sin «„ + <t, sin (a, + fi) p + ffj sin («^ + 2^.) p«+ .... 



, Ans (7) hat man ganz allgemein: 



(12) ZiJr^=^ 



woraus ersichtlich, dass für a, = 0, nothwendig auch Zy = Zr^O sein muss. 



Sind die angenommenen Werthe von x und y von der Beschaffenheit, dass man in Folge derselben 



(13) (j„ = , hiemit auch .^^ = -r^^ = , und somit auch 



F[x + iy) = Z„+ s„e = 7„e'".= 

 erluilt, so sagt man in diesem Falle, dass der complexe Ausdruck u = x-\-iy eine Wurzel der Gleichung 



(14) F{k) = 



ausmache. Ist jedoch ^^ in Folge der Werthe von x und y nicht Null, so lässt sich nachweisen, dass ein pas- 

 send gewählter Zusatz pei'-' = Ax-\-iAy bewirken kann, dass in der Gleichung 



( 1 5) F(x + i;/ + p e^O = F ((^' + A x) + i {y -f A y)] = i, e-'< 



die als positiv gedachte Grösse ä^ sich kleiner gestalten lässt , als die ebenfalls als positiv gedachte 

 Grösse a„. 



Vor Allem ist es klar, dass von den Grössen 



(IG) (7, , ffj , Tg . . . Or, IJr + l . . . 



bei den letzterwähnten Werthen von x und y nicht alle gleichzeitig verschwinden dürfen, weil dies bedeuten 

 würde, dass im Widerspruche mit der in (1) gemachten Voraussetzung der Ausdruck F(u) von x-^i'y nicht 

 abhängig sei. Es kann sich jedoch ereignen, dass in Folge der Werthe von x und y einige der Aufangsglie- 

 der in (16) gleichzeitig verschwinden, und etwa die Relationen 



(17) <Jo>*^' '^1 = <7z=53= • • • = <7r-2= «7;._i =0 , 5r>0 



veranlassen. In diesem Falle erhalten wir durch Heraushebung des nicht verschwindenden Factors e'»' -j,, aus 

 (9) folgende Gleichung : 



(18) 5j,e'*ü = 5„e'"" )! + ?'■ —eVv- + «-■-'-'o]' _|_ pr+i 1'±1_ g[(> + l)(i4- ar+ 1 - a„J i + & ) 



In dem hier eingeklammerten Polynome sind bei gehörig kleinem p zwei der Anfangsglieder genügend, 

 um seinen Werth in Bezug auf Grösse und Vorzeichen zu beurtheilen ; auch steht es uns frei, für ein gehörig 

 kleines positives s die Erfüllung der Bedingung 



(19) p'-Zle['> + «r— «0'» = _jr 







zu beanspruchen. Hieraus folgt ; 



(«0 — «'■) 



pei^' = Aa-+t A ?/=£(— I)rp5r, 



l 



und 



(-^0) A. = .(-l)f[j']7cos(^^^ A2,= .(-l)7[|>]lsin^^. 



