Studien im Gebiete numerischer Gleiclmngen. 223 



Dann findet man aus (18) : 



5,, e"o' = 5^ f ««■ [ 1 _ £'•] und vTCgen 1 — £'"<1 /2n 



"0 



S < S 



wie dies schon bei (15) angedeutet wurde. 



Setzt man x-\- I^x = x, y-^ly^i/, so belehrt uns die vorstehende Relation , dass man in Bezug auf 

 das Polynom F(u) von einem Grösseusysteme [x, y, a^ falls (7j>0, immerhin zu einem anderen Grössen- 

 system [.{-, y, <jj gelangen kann, wobei man eine Verkleinerung der mit n^ bezeichneten Grösse erzielt. In 

 dieser Weise verfahrend, gelangen wir nach und nach zu den Grössensystemen : 



(m) (m) (m) 



\x,fi,ö^, [.r, .y, S] . [x,y,a^] mit der Bedingung : 



{m-i) im) 



'o > S > S • • >'^o>°o- • • (22) 



und können selbstverständlich dieses Verfahren so lange fortsetzen, bis wir zu einem Grössensystem etwa 



(«) (") (") 



[•^' yy -^üj (23) 



(") 

 kommen, wobei mit erwünschter Genauigkeit a^ dem Nullwerth nahe gebracht sein wird. DiesfäUig erhält 



man eben so genau : 



(„) („) = F{x + iy) = a„ e «0 ^ = , ^24) 



u=: X -\- i y 



(») («) 

 und man darf erklären, dass der Ausdruck u==x-\-iy mit Rücksicht auf die beanspruchte Genauigkeit eine 



Wurzel der Gleichung (1) ausmache. 



Man hat für belieliiges ganze n : ( — i) = ei(2''+*)t ^ hiemit auch 



I ;t 



/ IN — - ilin+\)— 



{—l)r=e 'r. ^25) 



Durch Einführung dieses Werthes in (20) ist 



(Ax)„ = .-[-^)fcos ^-o--+f -+')- ] 



(A,A, = .[J]I sin [«o^(2^i+il^] . (26) 



Hieraus ist ersichtlich, dass man vom Initialwerthe M=;r-f /'y aus in dem oben angezogenen Falle r 

 von einander verschiedene Nachbarwerthe erhält, welche die Eigenschaft besitzen, der mit tj^ angedeuteten 

 Grösse einen unter a^ stehenden Werth zu ertheilen. Diese r Werthe gehen aus 



[x + (Aa;)„] + r[y + (A.v)„] 



* (27) 

 hervor, sobald man für w nach und nach die Werthe 0, 1 , 2, 3, . . . /• — 2, r— 1 annimmt, und diesen Zei- 

 gern entsprechend nach (26) die Grössen A.t und \y auswerthet. 



Der Initialwerth x-\- iy ist diesfällig ein Ausgangswerth von r verschiedenen Wurzelwerthen, und inso- 

 ferne r auf einen die Einheit überschreitenden Werth deutet, wollen wir diesem Initialwerth .r-f-^y die im 



