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analogen Fall der Fourier'schen Gleichungstheorie adoptirte Benennung indicatorischer Werth 



(28) ertheilen. 



Jeder andere beliebig angenommene Initialwerth kann den Fall r = l herbeiführen, braucht somit durch 

 eine besondere Benennung nicht erst hervorgehoben zu werden. 



Dieser Auseinandersetzung zufolge ist für die Gleichung (1) eine Anwartschaft in Aussicht gestellt, ver- 

 möge welcher mehre von einander verschiedene Werthe von der Form x -\- iy als Wurzeln dieser Gleichung 

 aufzutreten vermögen; und es entsteht die Frage: Wie gross ist die Anzahl der Wurzeln, welche einer vor- 



(29) gelegten Gleichung angehören ? 



Zu diesem Behufe schreiben wir die Gleichung (1) in der Form : 



(30) F{u) = B„ic- + ß„..i ;."-' + . . . -f B^u^ -^B,u-^B^ = ^ 



auf, was wir immerhin thun dürfen, sobald wir die mit B bezeichneten Coefficienten in der Form p -\- g^i \or- 

 aussetzen. 



Um aller Wurzeln dieser Gleichung habhaft zu werden , könnte man auf Grund der vorigen Auseinan- 

 dersetzung also verfahren : Durch das Nullsetzen der successiven Ableitungen des Gleichungspolynonies 

 F{u) erbalten wir : 



(31) •F;(«) = 0, F,(«) = 0. . .i^„_,(«) = 0, i^„_,(«) = 0, 



also {n — 1) neue Gleichungen, welche beziehungsweise dem (« — l)ten, (/* — 2)ten . . . 3ten, 2ten, Iten Grade 

 angehören. Jede Wurzel irgend einer der Gleichungen (31) tritt als indicatorischer Werth der Wurzeln der 

 nächst vorhergehenden Gleichung auf Denigemäss bestimme man die Wurzel der dem Iten Grade ange- , 

 hörigen Gleichung F„_\{x) = , und erhält den indicatorischen Werth zweier Wurzeln der Gleichung 

 F„-2{u) — 0. Jede der Wurzeln dieser Gleichung indicirt wieder zwei Wurzeln der Gleichung F„-z{u) = 0, 

 wobei es sich ereignen kann, dass man von verschiedenen indicatorischen Werthen ausgehend, zu einer und 

 derselben Wurzel der nächst vorhergehenden Gleichung geleitet wird. 



Auf diese Weise verfahrend, gelangt man zu den Wurzeln der Gleichung F^(^u) = 0, welche wieder die 

 der Gleichung (30) angehörigen Wurzeln indiciren und zum Ausgangspunkte ihrer Berechnung dienen. 



Die eben besprochene Staffelraethode könnte in der That zur Ausmittlung der Wurzelwerthe der in (30) 

 vorgelegten Gleichung dienen, ist jedoch in der Effectuirnng so mühsam und complicirt, dass mau in dieser 

 Beziehung gerne nach jedem Erleichterungsmittel sich umsieht, und sich höchstens begnügt, die der Staifel- 

 raethode zu Grunde liegende Idee beim theoretischen Ausbau anderer Auflösungsmethoden auszubeuten. 



Sei nun: Wn=Pn-\-qni eine Wurzel der in (30) vorgelegten Gleichung 



(32) F{:u) = F{u) = 0, 



wobei der oben angesetzte Zeiger ti auf den Grad dieser Gleichung hindeuten mag. 



Durch Division mit dem Ausdrucke {u — w„) erhalten wir folgende für jedes u geltende Relation : 



(33) F{u)J^lu)[u—w„]-^r„, 



n — 1 



WO F('«) den dem (n — l)ten Grade angehörigen Quotns, und r„ den eventuellen Rest andeuten mag. 



n 



Für u = w^ erhält man aus (33) wegen der Eigenschaft von w^ als Wurzel der Gleichung F(m) = 

 , >•„ = , hiemit 



(34) F{:u) = {u—wSf[u), 



wodurch besagt wird, dass ein jedes Polynom der Form (30) als ein Product dargestellt werden kann, aus 

 einem Polynom des um eine Einheit niedrigeren Grades, und einem Binom (u — w„), dessen entgegengesetzt 



