Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 225 



genominener zweiter Theil eine Wurzel der aus der Nullsetzung des Polynoms (30) hervorgehenden Glei • 



n 



chung ausmacht. Dieses Binom soll von nun an der Wurzelfactor des gedachten Polynoms F{u) heissen. 



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Auf Grund (24) sehliesst man eben, dass ein jedes Polynom F{u) durch einen passenden M-Werth = M', 

 auf Null gebracht werden kann, — dass es somit gestattet sei, für ein beliebiges s die Gleichung 



F{u) = {u—W,) 'f{u) (35) 



anzuschreiben. Wenn man diese Gleichung in Bezug auf« für die Werthe: n, n — 1, ... 3, 2, 1 specialisirt, 

 und die hiedurch entstehenden Gleichungen mit einander multiplicirt , so erhält man nach Weglassung des 

 beiderseits vorkommenden gemeinschaftlichen Factors folgende Gleichung : 



n 



F{u) = B„{u — ?<',) (?<— Wj) (w— «--j) . . . (u—u\^i) (u — ic„) = 0, (36) 



n 



WO B„ =i^(M) den Coefficienten von m" in F(u) andeutet. Jede von den Zahlen w^, w^, ir^ . . . w^ ertheilt 



n 



dem Polynom F{u) den Nullwertb, sobald man dieselbe in dieses Polynom an die Stelle von ?< einführt. Es 

 ist demnach eine jede dieser Zahlen eine Wurzel, und ein jedes der Binome {u — w^), {u — u-^, . . (u — w„) 

 ein Wurzelfactor der Gleichung (30). Eine unter den Zahlen w^, w^, . . . w„ nicht vorkommende Zahl w ist 

 nicht fähig, das in (36) ersichtliche Product auf Null zu bringen — ist somit auch nicht fähig eine Wurzel der 

 Gleichung (30) darzustellen. 



Eine Gleichung des wten Grades besitzt somit n Wurzeln und nicht mehr. (37) 



Sind mehrere dieser Wurzeln einander gleich, und ist etwa iOf = w^ = w^ = a, so ist das betreffende 

 Gleichungspolynom durch (u — af theilbar, und man sagt: die Wurzel =« ist eine dreifache oder eine 

 dreimal wiederholte Wurzel der Gleichung (30). 

 Aus (36) erhält man : 



F(u + k) = B4u-{w—k)][u—(w^-k)]. . .[u—{w„—k)] = 



F(uk) = B^Jc- (u- |l) («- J) . . . (u- '^) = 



F(^) = 1^ (u-ic «•,) {u-ku;) . . . (u-kw,,) = (38 



F{u')=B„{u''-(Vw^y) («*— (Vtc^y). . .{u''—{Vu>„y) = 



„t ii k k k k 



F{ Vü) = i3„ ( Vü- V{n^>') ( Vü— Vi^f) . . . ( Vu- V{^)'') = , d.h. 



n 



Wenn man in der Gleichung F{u) = mit dem Wurzelrepräsentanten u die Constante Ic durch irgend 

 eine Operation verbindet, so muss man diese Constante k mit einer jeden ihrer Wurzeln durch die entgegen- 

 gesetzte Operation verbinden, um die Wurzeln der jeweiligen transformirten Gleichung zu erhalten. (39) 



n 



Vermöge (36) lässt sich das Gleichungspolynom F{u) =0 aus gegebenen Wurzeln w,, w^,. . .w„_i, w„ 

 in folgender Weise aufbauen : 



Um etwa bei dem angenommenen ersten Coefficienten jB„ irgend einen anderen Coefficienten, etwa B„_, 

 zu erhalten, bilde man sich aus den entgegengesetzt genommenen Wurzeln — w, , — w^, — wj... — w,^ alle 

 möglichen Combinationen zur sten Classe, betrachte jede dieser Combinationsformen als ein Product der in 

 derselben enthaltenen Elemente, und verbinde schliesslich die so erhaltenen Producte durch Addition. Stellt 

 S, diese Summe vor, so erhält man zur Bestinmmng von B„^, folgende Relation : 



«„_, = £,.. -S,. (40) 



l)fnkschriften der mathem.-naturw. Cl. XXX. Bd. Abhandl. von Nichtniitgliedern. dd 



