226 Lorenz Zmurko. 



Demgemäss erhält man auch : 



-B«-i = — -Bn (w, + W'2 + «'3 + • • • +«■'„), 

 (41) 



^ Wenn man etwa die Wurzeln w, , 7r^, w^, ?r^, w^ ins Auge fasst, so können wir dem angeführten Bil- 

 dungsgesetze gemäss folgendes bemerken: 



1. Zur Bildung von B^ gelangen alle 5 Wurzeln als Factoren zur Verwendung; 



2. Zur Bildung der combinatorischen Summanden in B^ gelangen wenigstens vier, 



3. „ „ n „ ,) in -Dj „ „ drei, 



(42) 4. „ „ „ „ „ mBg „ „ zwei, 

 5. „ „ „ „ „ ini\ gelangt „ eine 



von den ins Auge gefassten fünf Wurzeln als Multiplicatoren zur Verwendung. 

 Schreibt man die erste Gleichung in (38) in folgender Form an : 



(43) F{h -i- 1-) = B„u^ + B'„_i M»-' -I- i?'„_aM"-^ + • • • + ^'V'' + ^i"^ + B\ " + -ß'u '= 

 und setzt 



w, — l,'^w\, ti\ — k^w'^, w.^ — k = tc\ ■ . ?z'„_i — ^' = ?(''„_i, u\ — k = w'„; 



nimmt man ferner an, dass in (36) die Wurzeln ?<?, , w^, w^, u\, tv,^ in Beziehung auf v Anfangsstellen mit 

 einander übereinstimmen , und dass eben h diejenige Zahl sei , welche den Inbegriff der gemeinschaftlichen 

 Anfangsstellen dem Stellenwerthe und Vorzeichen nach vorstellt, dann wird nothwendiger AVeise jede der 

 Wurzeln w ., to^, w\, w\, w\ in Bezug auf ihre Charakteristik wenigstens um v Einheiten tiefer ausfallen, 

 als dies bei den Wurzeln w, , ic^, w^, w^, Wr^ der Fall war. 



Behufs der Angabe der Charakteristik der in (43) angeführten Coefficienten gibt bei jedem derselben 

 derjenige combinatorische Summand den Ton an , welcher in Bezug auf seine Charakteristik die geringste 

 Senkung beurkundet, — also derjenige, bei dessen Bildung die geringste Anzahl von den Wurzeln w\, w\, 

 w', w\, 10 r, thätig war. Wenn man überdies die Bemerkung in (42) zu Rathe zieht, so gelangt man zu fol- 

 genden Ergebnissen : 



Die Charakteristik von B\ ist um 5v Einheiten tiefer, als die von B^^ , 



n j) )' II ji -'^i ' 



7» 



Es ergibt sich demgemäss beim Übergange von den Coefficienten B^, B^, B^, B^, B^ zu den entspre- 

 chenden 2?'^, B\, B\, B'g, B\ ein regelmässiges Abfallen beziehungsweise um 5v, 4v, 8v, 2v, 1 v Ein- 

 heiten. In Betreff der weiteren Coefficienten B\, B\ . . . wissen wir, dass bei denselben auch solche com- 



(44) binatorische Summanden vorkommen, welche von den Factoren ?<>',, w^, w^, w^, w\ gar nicht afficirt sind, 

 somit kann von einer derartigen Beeinflussung auf die Erhöhung oder Erniedrigung ihrer Charakteristik fiir 

 weiteres keine Erwähnung gemacht werden. 



Besitzt die Gleichung (80) und respective die Gleichung (Ij blos primäre Glieder, so ist in diesem Falle 

 identisch w (««) = 0, und/(M) = F{u). In diesem Falle erhält man ganz allgemein : 



(45) 



(!Z,= s!7,cos s:, = F,(,r)cosi> = i?;(a-)[l-(^^]'|-j-f . . . | 



s ! s, = s! j. sin s<, = Fj/r) sin J) - /•;(./■) £ ^, _ ( i-] |+ . . J . also auch 



