Stutlien im Gebiete numerischer Glei'-hiivfirn. 227 





(46) 



(a-)-F3(a.)|-j + i^,(.r)|^' 



(47) 



Die Erfüllung: der rTleicliuiif;- 



F(u) = F{x + iy) = (48j 



verlangt eine solche Wahl der Werthe von x , y , dass hiedurch 



• 5,= Z„ = s,= (49) 



sieh ergebe. Dies kann auf Grund der Relationen (47) auf zweierlei Weise herbeigeführt werden, und zwar 

 indem man 



1. F{x) = y = oder (50) 



' F(a:)-i^,(x)|] + F,(a.)|]-...=0 



F,{x)-Flx)t^F,{x)t- . . . = setzt. 



(51) 



Aus (50) resultiren blos primäre Wurzeln. Aus (51) gewinnt man die übrigen Wurzeln, welche die com- 

 plexe Form x-\-iy besitzen, und sieht gleichzeitig ein, dass im letzteren Falle auch x — iy eine Wurzel der 

 vorgelegten Gleichung sein muss , da ja das Vorzeichen von y auf die Erfüllung oder Nichterfiillung der^ -' 

 Gleichungen (51) gar keinen Einfluss zu üben vermag. Solche Wurzeln, wie x-\-iy, x — iy heissen conju- 

 girte complexe Wurzeln. 



Das entsprechende Product von einander conjugirten Wurzelfactoren erhält man : 



\ « — {x-\-iy\ \ I u-—{x—iy\ I = [lo—xfAry^ , (.^)J3) 



welches für beliebige primäre Werthsysteme von {%, x, y) stets einen positiven Werth beibehält. 



Wenn nun die mit primären Coefficienten versehene Gleichung F(u) = die primären Wurzeln 

 K,, Mj, »ij. . .M^_„ Mv, und sonst lauter complexe Wurzeln besitzt, so müssen letztere in gerader Anzahl sich 

 einfinden, und sich in Paare von je einander conjugirten Wurzeln anordnen lassen. Bezeichnet man das Pro- 

 duct aller conjugirten Wurzelfactoren mit t|/(M), so schliessen wir aus (53) unmittelbar, dass der Ausdruck 

 ■| (u) für jeden primären Werth von u einen positiven Werth beibehalten muss. 



Diesfällig nimmt die Gleichung (30) folgende Gestalt an : 



F(m) = 5„ [■« — «,] [m—Mj] . . . [;<—«,] ■^(e<) = 0, (54) 



wobei wir einstweilen die Anordnung der primären Wurzeln so treffen, dass für dieselben die Relation 



M, <«/2<«3 ..<«,_! <Mv, (55) 



erfüllt wird. 



