228 Lorenz Zmurko. 



Aus (54) erhält man : 



\ •' '^ U U. U — M. U M« dll. 



liieraus : 



(57) 



^,o.,)=#^ 





u = u^ 



=—B„{u^—u^) {u^ — «s) . . . (?/j— ;/v) ^ (mj). 

 IC = u. 



Auf Grand der Relationen (55) sind die in (57) rechter Hand ersichtlichen Producte mit entgegengesetz- 

 ten Vorzeichen behaftet, und bethätigen dadurch, dass der Ausdruck F^{u) bei den Satzungen u^u^, u = u^ 

 entgegengesetzte Werthe annehmen muss. Da nun F^{u) eine stetige Function ist, so muss es wenigstens 

 Einen zwischen u^ und u^ liegenden primären Werth u\ geben, für welchen F^{u) den Nullwerth annimmt, 

 welcher somit eine primäre Wurzel der Gleichung 



(58) F,{u) = sein muss. 



Auf gleiche Weise lässt sich darthun, dass sieh zu den Paaren [u^, mJ, [u^, mJ, [m^-i, «v] wenig- 

 stens je ein Zwischenwerth finden lässt, welcher eine, und zwar eine primäre Wurzel der Gleichung (58) 

 ausmacht. 



(59) Es deuten also v primäre Wurzeln der Gleichung F(m) =0 auf wenigstens (y — 1) pri- 

 märe Wurzeln der Gleichung F^{u)=^0 hin. 



Die eben ausgesprochene Behauptung gilt immerhin, wenn die Differenzen je zweier in (55) erwähnten 

 Nachbarwurzeln beliebig klein ausfallen, hiemit auch dann, wenn diese Differenzen verschwinden. 



In diesem Falle gehört eine ^-mal wiederholte Wurzel der Gleichung F(u) = als eine (^x. — l)-mal wie- 



^ ^ derholte Wurzel der Gleichung F^{u) = an. Dass der hier ausgesprochene Satz sogar für die Gleichung (1) 



und selbst dann gilt, wenn die wiederholte Wurzel eine complexe ist, überzeugt man sich leicht, wenn man 



dF(u) 

 zum Gleichungspolynom (36) die Gleichung y ' =F,(?<) = auf die in (56) ersichtliche Weise ableitet und 



dann aus der Anzahl der gleichen Wurzelfactoren in F{u) auf die Anzahl gleicher Wurzelfactoren in F^ (u) 

 schliesst. 



Wenn wir die Aufeinanderfolge der Gleichungen 



(61) i^.(«)=Ü; F^,{u) = ^^ = 



dadurch kennzeichnen, dass wir der ersteren die Benennung Stammgleichn ng und der zweiten den 

 Namen abgeleitete Gleichung zuerkennen, so wird es nicht schwer fallen, zu den im Vorhergehenden 

 ausgesprochenen Relationen noch folgende hinzuzufügen : 



1. m verschiedene primäre Wurzeln der Stammgleichung verbürgen die Existenz von mindestens (m — 1) 

 verschiedenen primären Wurzeln in der abgeleiteten Gleichung; 



2. m gleiche Wurzeln der Stammgleichiing gehören den abgeleiteten Gleichungen in Iter, 2ter . . . vter 

 Abstufuug, respective in den Anzahlen 



(62) ni — 1 , nt — 2 , ?« — 3 , . . . m — (y — 1) , m — v 

 an. 



3. Der indicatorische Werth von m conjugirten Wurzelpaaren , welche etwa der Gleichung i^^ (m) =U 

 angehören, deutet an, dass diese dem (?i — «)ten Grade angehörige Gleichung höchstens (m — s — 2m) pri- 



