Studien im Gehiete numerischer Gleichungen. 229 



märe Wurzeln besitzen kann. In weiterer Folge sind hiedurch in dem (?j — s+l)teD Grade angehörigen Glei- 

 chung F,_j(»<)=0 höchstens (w — s-\-l—2m) primäre, und somit wenigstens m conjugirte Wurzelpaare indi- 

 cirt, weil sonst im Widerspruche mit dem Oberwähnten der Gleichung F,{u) =0 mehr primäre Wurzein 

 zukommen müssten , als die Zahl (w — s — 2m) beträgt. In ähnlicher Weise fortschliessend , können wir 

 behaupten, dass der indicatorische Werth von m conjugirten Wurzelpaaren in F,{u) =0 wenigstens eben so 

 viele, nämlich m conjugirte Wurzelpaare in jeder der Gleichungen 



J^._,(«) = U , F._,{u) = ... F^{u) = , F,{u) = , F(m) = 



beansprucht. 



§• 2. 



Räumliche Deutung der Gleichungen und ihrer Wurzeln. 

 Der Ausdruck : 



F{x+iy) = [f[x)cosD — '^(x)sixxD] + i[f{x) sinD + f(x) cos D]=Z^+iz^, (l) 



in welchem die symbolischen Differentiationsdeterminanten nach (7) §. 1 zu deuten sind, lässt in Bezug auf 

 seinen primären Bestandtheil Z^, als auch in Bezug auf seinen secundären s^ eine räumliche Darstellung zu, 

 und zwar in folgender Weise: In Bezug auf ein orthogonales Axensysten ox, oy, oz denke man sich den 

 angenommenen Ausdruck {x-\-iij) als den Träger der Coordinaten x, ij eines in der Ebene xoy liegenden 

 Punktes p, und räumt demgemäss in der analytischen Ausdrucksweise folgende Äquivalenz ein : 



Der m xoy befindliche Punkt p ^ der Punkt {x-\- iy). (2) 



Die aus der Annahme des Punktes (x -\- iy) sich ergebenden Wertbe von Zo und z^ benütze man zur 

 Bestimmung der Punkte P, p im Kaume in der Weise, dass beide in einer in p ^ni xoy errichteten Senk- 

 rechten sich befinden, und zwar der erstere in der Entfernung =: Z^, der zweite in der Entfernung = z^. Mit 

 Eücksicht auf die in (1) ersichtliche Bedeutung von Z^^ und z^ soll von den im angegebenen Sinne einander 

 zugeordneten-conjugirten Punkten P und p , der erstere ein primärer, der letztere ein secundärer 

 Punkt genannt werden. (3) 



Durch zweckmässige Annahmen des Ausdruckes {x-^iy) gelaugt man zu einem beliebigen Punkte in 

 xoij. Zu einem wie immer angenommenen Punktsysteme p, p, p, JJ . . . in a;o(/ erhält man mittelst ent- 

 sprechender Werthe von Z^^ ein räumliches Punktsystem P, P , P, I' . . . und ebenso mittelst entsprechen- 

 der Wertbe von z^ das Punktsystem jj, p, jp, p • ■ • Wird das System p, )j, fi . . als eine continuirliche 

 Punktfolge , das heisst als der Repräsentant der Ebene xoy gedacht, so wird auch das Punktsystem P, P, 

 P, . . . eine continuirliche Punktfolge, d. h. eine krumme Fläche charakterisiren , welche wir unter dem (4j 

 Namen die primäre Hilfsfläche auffassen wollen. Eben so mag das System p, p, jp . . . den coutinuir- 

 lichen Verlauf der secundären H i 1 f s f 1 ä c h e andeuten. 



Der gegebenen Auseinandersetzung gemäss wird die analytische Darstellung der primären Hilfsfläche 

 durch die Gleichung 



z= Zg^=f(x) cos D — f(x)s\nB (5) 



und die der secundären Hilfsfläche durch die Gleichung 



s = 2g ^/(x) sin Z) + y(a;) cos Z) (6) 



charakterisirt. Durch eine jede der Hilfsfläclien wird gerade so, wie durch die Coordinatenebene xoy der 

 ganze Raum je in zwei Raumabtheilungen, d. h. in die obere und untere Raumpartie abgetheilt. Jede von 

 den Hiifsflächen wird von einer beliebig gewählten zn oz parallelen Geraden nur in einem einzigen Punkte 

 getroffen. 



