Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 231 



Durch Differentiation derselben folgt: 



dz Z^-\-z^ £7,* dy Sj 



dx Z^ Z^ dx Z^ 



(12) 



Sind \ fx, V die Winkel, welche das im Punkte (x, y, s) anhebende Curvenelement dieses Linienzuges mit 

 den Axen ox, oy, oz bildet, so erhält man aus (12): 



Z. —s. 'a, 



cos A = ' ; cos p. = ' ; cos v = _ • /-i a-i 



.,vT^y ^ ^.1/1+^/ v^i+5,* ^^^^ 



Der Werth von cos v wird nur für ein sehr grosses a, zur Einheit, also nur für Punkte, denen sehr 

 grosse X und y zukommen. Daraus geht hervor, dass der conjugirte primäre Linienzug in gehörig weiter 

 Distanz von der Axe oz einen zu dieser Axe parallelen Verlauf nimmt. Ein solcher Linienzug wird vom Punkte 

 (x, y, ä) ausgehend, entweder in der Richtung (13) oder in der ihr entgegengesetzten Richtung in seinem Ver- 

 lauf sich der Ebene xoy nähern, und stellt die Möglichkeit in Aussicht, dass man, diesen Linienzug verfol- 

 gend, bis zur Begegnung desselben mit xoy, d. h. bis zu einem Wurzelpunkt gelangt. Es kann jedoch auch 

 als möglicher Fall angesehen werden, dass man die successiv aufeinander folgenden Curvenelemente ver- 

 folgend, zu einem Elemente kommt, welches zu xoy parallel liegt, und anzudeuten scheint, dass von da aus 

 der Curveuzweig aufhört sich der xoy weiter zu nähern, sondern vielmehr von dieser Ebene sich wegwen- 

 det, um sich von derselben fort und fort zu entfernen. Dieser Fall mag auch im Folgenden einer näheren 

 Prüfung unterzogen werden. 



Der Parallelismus eines Curvenelementes zur xoy kann nur in demjenigen Punkt (x, y, z) eintreten, für 

 welchen der in (13) angedeutete Werth von cos v den Nullwerth annimmt, also in dem Falle, wo die Relation q^-, 

 '7^ = Z^^=s^ = Platz greift. Um der zu führenden Untersuchung die möglichst grosse Allgemeinheit zu 

 gewähren, nehmen wir an, dass an die eben angeführte Relation sich zufälligerweise noch die Relationen : 



hinzugesellen. 



(Tg = t73= ^4 = . • = ^r-, = (J (15) 



Lässt man x, y, :c in x -f dx = .r -f- p cos \x, y -\- dy = y-\- '^ sin p. übergehen, so erhält mau aus (11) nach 

 der im g. 1 sub (10) (11) gegebenen Anleitung: 



i„ =.z-\-dz = Z„-f f,'(7,C0S {rp + a,) 4- f+'cr,+ , COS [(r-f 1) p. -f a,+ ,] + & 

 0= z^-\-r^a,S,m (rjj.-|-a,)-f G'+'cr,+ , sin [(r-f 1) f/-f a,_^,] -f &. 

 Diese Gleichungen nehmen wegen (11) und wegen des sehr klein gedachten o folgende Form an: 



Z^^ = z -\- dz = Z^-[- fr;,.co^{r p.-\- a,'.) ; sin(>-.j. + a,) = 0. (16) 



Aus der zweiten in (16) folgt für jedes ganze m: 



11 a,. 

 )■ p -\- a.r ^= rn ~ , pm = »' • (17) 



und in Folge dessen gibt die erste in (16): 



Z^ = z^dz^ Z, + (.-1)'"^.;/ = Z„+ ^ . (18) 



Aus (17) erliüit mau zwei Reiben von ;j.-Werthen: 



W-'-IJ \Hl V-U ■ • ■ F2'-l)l ; l(J-2 + ."-4 + .'-^J ■ • • .'^2' »2- (^^) 



