232 Lorenz Zmurko. 



von welchen die in die erste Reihe gehöriffcn den ungeraden, dagegen die in die zweite Keihe gehörigen den 

 geraden Werthen von m entsprechen. Der in (18) ersichtliche Zusatz 3 nimmt in Bezug auf die zwei Eeihen 

 der fx Werthe entgegengesetzte Vorzeichen an, und gestattet unter diesen zwei Reihen diejenige zu wählen, 

 welche dem Producta iZ^ ein negatives Vorzeichen beibringt. Hiedurch wird bewirkt, dass in numerischer 



(20) Rücksicht der Werth von Z^ kleiner sich gestaltet, als der Werth von Z^. 



Die in dieser Weise getroffene Wahl der entsprechenden Reihe von |ui-Werthen deutet auf r conjugirte 

 primäre Curvenzweige, welche vom Punkte (ar, y, z) anhebend in ihrem Verlauf sich der xoy nähern und 

 mindestens nach r Wurzelpunkten hinzielen. Ist r eine gerade Zahl, so besitzen je zwei /ji-Werthe, welche 

 um n- dififeriren, gleichzeitig gerade oder ungerade Zeiger. Curvenzweige, welche je einem solchen Winkel 

 entsprechen, bilden einen zusammengehörenden, im Punkte (a?, y, z) continuirlich verlaufenden Linienzug, 

 welcher von (x, y, z) ausgehend nach beiden Seiten entweder zur Ebene xoy convergirt oder von derselben 

 sich entfernt. 



In Bezug auf jede so zusammengesetzte Curve bildet der Ausgangspunkt (:r, 7/, s) nach Massgabe des 



(21) Winkelzeigers und des Vorzeichens von Z^ einen Maximal- oder Minimalpunkt. 



Um also die höchsten und tiefsten Punkte etwa von 2= F(?<) mittelst complexer Werthe der Variablen 

 zu bestimmen, hat man eigentlich ein überbestimmtes Problem vor sich; denn es muss ic = x-\-iy so be- 

 schaffen sein, dass Fix -\- iy) = Zg-\- iz^ primär ausfalle , und dass F^ (x -\- iy) = Z, -f iz^ = sich ergebe. 

 Die Wahl der Werthe von x, y erscheint somit an folgende drei Bedingungen geknüpft : 



(22) 



und dieser können wir nur beim Vorhandensein einer gewissen speciellen Beschaffenheit der in F(u) spielen- 

 den Coefficienten Genüge leisten. 



Im Punkte p auf der Ebene xoy, dessen Bestimmungsgrösse x-\-iy den Relationen (!^ = G^= . . . =a^_, = 

 genügt, errichte man eine Senkrechte und findet in den Höhen Z^ und s^ das conjugirte Punktepaar P, p, 

 von denen der erstere auf der primären, der zweite auf der secundären Hilfsfläche sich befindet. In diesen 

 Punkten haben die Hilfsflächen horizontale Berührungsebenen, von welchen selbe in der Ordnung (r — 1) be- 

 rührt werden. Die secundäre Hilfsfläche wird ausserdem in p geschnitten, und zwar in 2 >• Curvenzweigen, 

 '^ deren Ausgangselemente in Bezug auf ihre Richtung den in (19) dargestellten Winkeln entsprechen. Die 

 durch p gelegten horizontalen Geraden mit den in (19) dargestellten Richtungen berühren die secundäre 

 Hilfsfläehe in der Ordnung r. 



Eben so findet man in Bezug auf die Berührung in P ein System von 2/- Geraden, welche die primäre 

 Hilfsfläche in der Ordnung r berühren und ihre Richtungen aus der Relation cos(a,.-f-»-|:x) = oder aus der 



Relation a^-j- r/j.'„ = »jK -f--^ beziehen, sobald man m der Reihe nach eine jede von den Zahlen 1, 2, 3. .2r 



sein lässt. Man findet das Winkelsystem [|a', , f^'^, fx'j. . .pL'2^_,, ,ui.'2^j mit der Bestimmungsgleichung 



in TZ oi.r 



(24) ''''" = 7 '^ + 2;- ~ 7 

 und erhält aus der Vergleichung mit (19) 



r , , ff 



(25) n',™— fu= .7-. ; p-.+i — \>-s^v-,+x — M.= -- 



Denkt man sich in der Ebene xoy durch p ein System von 4r Strahlen in den durch ja und p.' angedeu- 

 teten Richtungen gelegt, so werden je zwei Nachbarstrahlen den Winkel — einschliessen dergestalt, dass je 



ein Strahl des Systems (24) den Winkel halbirt, welcher von zwei Nachbarstralilen des Systemes (19) gebildet 

 wird, und unuj;ckchrt. 



