Studien im Gebiete numerisciier Gieichungen. 233 



Kommt zu den Relationen jj = Uj = . . . = ar—\ = noch die Relation a, = Z^ = s^ = hinzu , so fallen 

 die Punkte P und ^j mit p zusammen, und in diesem Falle stellen die erwähnten 4r Stralen um den Punkt p 

 herum eben so viele Curvenelemente derTrassen vor, welche abwechselnd der primären und seeundären Fläche (26) 

 anf::ehören. Der Punkt p ist diesfällig ein rfacher Wurzelpunkt, und der Ausdruck a--\-iy eine rfache Wur- 

 zel der Gleichung F{u) = 0. 



In Beziehung auf den continuirlichen Verlauf eines primären conjugirten Cnrvenzweiges bilden wir uns 

 durch successive Differentiation der der seeundären Trasse angehörigen Gleichung So = folgendes Schema: 



^1 «/3 + 2 (.^i — hy^)yi—Z3yi^— 3 «o?/,* + 3 z,«/, + s^ = o (27) 



. ^1 2/4 + 2 (^j — «S y,) ys — ^2 Vt + 3 (— ^32/1* — 2 ~3.'/l + ^3^ Vi + 



+ (^,y.*-4 Z,y,^-&z,y^^ + 4 Z,y, + .,) = ()...& 



wobei ?anz allgemein s ! Wj = -r-^ verstanden wird. 



dx' 



Sei nuna--f-*'(/ einem Punkte der seeundären Trasse angehörig, welcher bereits in einer angebbaren 

 Distanz von einem vielfachen Punkte dieser Trasse sich befindet, für welchen somit der Ausdruck Z^ nicht 

 verschwindet, so können wir ohne Anstand aus (27) die Werthe von y^, y^, y^. . .bestimmen. Soll nun ftir 

 ein massiges Increment Aj- der Punkt (j"-|- Adr-|-i(y+ A?/)) in der seeundären Trasse sich befinden, so erhal- 

 ten wir zur Bestimmung von Ay folgende Relation: 



^y=y^^x-]ryi^x^->ry^^.r:^-\-y^^^f -\- . • . (28) 



Bestimmt man dann aus den Gleichungen 



p cos fx = A 33 , p sin jui. ^ A y 



die Werthe von p und ;x, so wird man in den Stand gesetzt, mittelst der Relation 



4=^o+'.pcos(;.+a,) + ff,p«cos(2pi+a,)-f & (29) 



den Werth von Z^ zu berechen, um zu sehen, wie weit man sich, den Curvenzweig verfolgend, der Ebene 

 xoy und somit dem Wurzelpunkt selbst genähert hat. 



Aus der gepflogenenen Auseinandersetzung geht zur Genüge hervor, dass man von einem beliebigen, 

 der Gleichung «^ = genügenden Ausdrucke {x -\- iy) ausgehend, auf einen Punkt des conjugirten Cnrven- 

 zweiges kommt, von welchem aus diese Curve entweder unmittelbar nach einem Wurzelpunkt zustrebt, oder (30) 

 unter gewissen Bedingungen zu solchen Orten der primären Hilfsfläche leitet, von denen mehre Curvenzweige 

 gleichzeitig ausgehen, ihren Verlauf gegen die Ebene xoy hin nehmen, und mindestens zu eben so vielen 

 Wurzelpunkten hinzielen. 



§■ 3. 

 Über die horizontale Einschliessung der Wurzelpunkte. 

 Sei p, ein rfacher Wurzelpunkt durch den Ausdruck x-\- iy betimmt, so müssen vor Allem die Relationen: 



(To ^ 5, = !7j = Jj = . . . = Or-^ = , 



Zq = Z^ = Z^= Z^= . . .= Zr-i = , (l) 



Zg = 3j = Sj ^ Sj = . . . ^ «,._, = U stattfinden. 



Denkschriften der mathem.-uatui-w. Ol. XXX. Bd. Äbhandl. von Nichtmitgliedern. ee 



