234 Liorem Zmurho. 



Zur Bestimmung der Umgebungspunkte auf der Ebene xoy könnte man den Ausdruck (x + pcos|m) -|- 

 t(y-\-üS\\i\).) in Verwendung nehmen, sobald man p und pi als die laufenden Coordinaten der ümgebungs- 

 punkte von p^ ansieht. Seien Z^^, h^ die s-Coordinaten der Umgebungspunkte auf der primären und secHiulä- 

 ren Hilfsfläche, so findet man auf Grund der Gleichungen 



• 4 = ,,p'COS(a,+rpi) + 7,+,p'-+'cos(a,+,+ (r+l),^] -f & 



(2) 



s„ = 7,p'-sin(a,-frfi) + c7,+,p'-+'sin(a,^,+ (r+l)(A) + & 



für beliebiges (jl und ein sehr kleines p die nächsten Umgebungspunkte von p„ und man kann diesfällig bei 

 der Bestimmung von 4) ^^^ K ^^^ höheren Potenzen von p vernachlässigen, und, sich mit den Anfangsglie- 

 dern begnügend, schreiben: 



(ß) i'„ = (7,p'-cos(a, + rfA) , 2„ = 7, p' sin («,+ >• fx) , 



und hieraus ergibt sich das Umgebungsverhältniss 



Q^, = cotg («, + /• fx) = (iß : «o). 



Während /ji allmählig die aufeinanderfolgenden, zwischen Null und 2 k enthalteneu Werthe annimmt, 

 durchläuft der Ausdruck («^4- rjx) allmählig Werthe, welche zwischen «, und (a,-f 2r;r) enthalten sind. So 

 oft der Ausdruck (ar + r,u) während seiner allmähligen Zunahme durch die Endpunkte des Iten, 3ten, 

 5teu, (4/- — 3)ten, (4r — l)ten Quadranten hindurchgehend, aus dem Bereiche eines ungeraden in den Be- 

 reich eines geraden Quadranten hinübertritt, geht der zugehörige Werth von Q^ aus dem positiven Zustande 

 durch Null in den negativen Zustand über. 

 (4; Den so aufgefassteu Übergaugszustand könnten wir symbolisch durch \+0— 1| kennzeichnen und mit 



dem Namen positve Mutation belegen. In gleicher Weise mag das Symbol j— + 1| aufgefasst werden, 

 und mit dem Namen negative Mutation belegt werden. Bezeichnet man die positiven Mutationen in Bezug 

 auf ihre Anzahl mit positiven Zahlen — und mit negativen Zahlen die Anzahl negativer Mutationen — so soll 

 von nun au unter der Anzahl der Mutationen im generellen Sinne diejenige positive oder negative Zahl ver- 

 standen werden, welche aus der algebraischen Summirung dieser beiden Anzahlen hervorgeht. Ist etwa die 

 Anzahl der positiven Mutationen =8, und die Anzahl der negativen = — 12, so erhält man diesfällig: 



(^5) Anzahl der Mutationen = 8 + ( — 12) = — 4. 



Auf Grund des in (4) Gesagten können wir behaupten, dass das Umgebungsverhältniss Q^, die positive 

 Mutation 2rmal darbieten muss, sobald pi bloss im fortschreitenden Sinne allmählig die Werthe von Null bis 

 2 TT durchläuft. Da aber der allmählige Übergang von einem ^.-Werthe zum folgenden nächst grösseren 

 fA- Werthe als gleichbedeutend angesehen werden kann mit dem Übergange von einem Punkte zum nächst- 

 folgenden Punkte der Ilmgebungscurve des vorliegenden »-fachen Wurzelpunktes |)„ so lässt sich auf Grund 

 des Vorangehenden auch Folgendes aussagen : 



Benützt man zur Auswerthung des Verhältnisses Q^ = Zg: s, nach und nach alle Punkte, welche der näch- 

 sten Umgebungscurve eines rfachen Wurzelpunktes angehören, so erhält man: 



(6) Anzahl der Mutationen = 2r. 



Es ist eigentlich für a* = a;-f- p cos fx , y= y-|- p sinjx , -j-y = D, 



f{x) sin Z) -|- y {x) cos D 



