Studien im Gebiete numerische!- Gleichungen. 



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Es bleibt jedoch an der Sache gar nichts geändert, wenn man in (7) die Striche durchgehends weglässt 

 und dabei bemerkt, dass zur Bestimmung von Q^^y nur dieienigeu Werthe von x und y zu verwenden sind, 

 welche den in der Umgebungscurve liegenden Punkten zur Bestimmung dienen. Auch ist im Vorangehenden ^ 

 stillschweigend vorausgesetzt, dass kein Punkt der Umgebungscurve gleichzeitig ein Wurzelpunkt sein darf. 



Die Richtung der Puuktfolge in der Umgebungscurve, welche beobachtet werden muss bei der sueces- 

 siven Ausmittlung der jeweiligen Grösse von ö^, y, ist der Erzeugung des im Zunehmen begriffenen Winkels 

 fx zufolge in demjenigen Sinne zu veranstalten, in welchem sich ein positives Stück der Äse ox um die ^-Axe 

 zu drehen hat, um nach Zurlicklegung eines Quadranten in die Richtung der positiven Halbaxe oy zu gelan- „. 

 gen. Würde man jedoch diese Umgebungscurve nicht in dem eben beschriebenen, sondern im entgegenge- 

 setzten Sinne verwenden, um die Aufeinanderfolge der Werthe von Q^^ y zu ermitteln, so müsste man in die- 

 sem Falle zu 2r negativen Mutationen, d. h. zu — 2;- Mutationen gelangen. 



Die Umgebungscurve lässt sich trotz des sehr kleinen p auch in einer solchen Gestaltung denken, dass 

 man beim fortschreitenden Durchlaufen ihres Bogens in einigen Partieen ihres Umfanges die entsprechenden 

 Partieen des fx- Winkels im rückschreitenden Sinne erzeugen muss. In diesem Falle wolle man nur bedenken, 

 dass dem durchlaufenen Totalumfange der Umgebungscurve der erzeugte f^-Werth die Grösse 2 k erreichen 

 muss, ^— dass demgemäss die einmal im retrograden Sinne erzeugten Partieen des (x- Winkels ein zweimaliges 

 Erzeugen derselben jx-Partieen im fortschreitenden Sinne bedingen, — dass dann in weiterer Consequenz auf 

 eine in diesen Partieen sich ergebende Anzahl von etwa 5 negativen Mutationen eine Anzahl von 2x5^10 

 Mutationen (positiven Mutationen) nothweudig erfolgen muss ; — und man wird schliesslich zugeben müssen, 

 dass auch für solche Partieen des jui- Winkels die regelrechte Anzahl der Mutationen in der Zahl n sich 

 ergeben muss. 



Man kann demgemäss im generellen Sinne folgenden Satz aussprechen : 



Bei beliebiger Form der Umgebungscurve eines rfachen Wurzelpunktes liefert 



(lU) 



das Umgebungsverhältniss Q^^y 2/'Mutationen. 



(11) 



Denken wir uns jetzt eine beliebig ausgedehnte geschlossene Curve in xoy. welche weder an ihrem 

 Umfange, noch in dem von derselben eingeschlossenen Raum einen Wurzelpunkt beherbergt, so lässt sich (12) 

 erweisen, dass öx, , in Bezug auf die Punktfoige in dieser Cnrve die Nulle als Anzahl der Mutationen 

 bieten muss. 



Eine derartig angenommene Curve sei ku. Diese möge 

 theils durch primäre mit^^j', theils durch secundäre mit ««' an- 

 gedeutete Trassenzweige durchfurcht sein. Vor Allem ist es 

 klar, dass innerhalb dieser Curve keine Begegnung zwischen (13) 

 verschiedenartigen Trassenzweigen erfolgen darf, weil der 

 Hypothese zuwider ein jeder dieser Begegnungspunkte einen 

 Wurzelpunkt abgeben müsste. 



Zwischen je zwei mit ^;^' und ss' angedeutete Trassen- 

 zweige können wir uns einen Linienzug wie m^m^ , m^m^ ver- 

 zeichnen, in deren Verlaufe kein Punkt vorhanden sein kann, 

 für welchen irgend eine von den Grössen verschwindet. Dies sind somit Linien, in deren Verlauf Q^y keine 

 Mutation zu liefern vermag. 



Der Totalumfang der Figur (13) lässt sich durch Einschaltung solcher in Bezug auf Mutationen indiffe- 

 renter Züge in continuirlicher Form aus folgenden Partialzügen zusammensetzen : 



''n\p' hpm^ »i'i ; m'^ m^ ssin^m'j^ ; m'^^m^ppup' p' m\ ; m'^s s' m! ^ (14) 



Der erste Linienzug ist ein geschlossener und bringt bei constantem Vorzeichen von z^^ bloss in den 

 zwei mit p bezeichneten Punkten das Z^^ zum Verschwinden, liefert somit keine Mutation. 



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