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Der zweite Zug mit dem vierten in Verbindung ist ebenfalls ein geschlossener, enthält keine mit p be- 

 zeichneten Punkte au seinem Umfange, bietet somit auch keine Mutation. 



Aus demselben Grunde, wie der erste, bietet auch der dritte Zug keine Mutation. 



Da nun ein ähnlicher Vorgang sich bei einer jeden derartig angenommenen Curve denken lassen wird, 

 so ist im Vorliegenden der in (12) angekündigte Satz dargethan. 



j^ Die Linienzüge L, = «äz>wm, L^^unvmu, von denen der erste den /-fachen Wur- 



©zelpunkt p^, und der zweite keinen Wurzelpunkt beherbergt, lassen sich in einen einzigen 

 Lienienzug L = uhvnunvmu = uhvmti zusammensetzen. Der erste liefert 2r, der 

 zweite hingegen Null als Anzahl der Mutationen. Der zusammengesetzte Zug L, bei 

 welchem sich die Züge vnu und unv in Bezug auf die Anzahl der Mutationen tilgen, 

 liefert offenbar auch 2r als Anzahl der Mutationen. 

 Es lässt sich somit die Umgebungnlinie eines Wurzelpunktes beliebig erweitern 

 ^■^ ohne die Anzahl der Mutationen zu beirren , wofern nur in dem hinzugekommenen 



Raum und Umfang keine neuen Wurzelpunkte zu liegen kommen. 



Ist pr ein j-facher, und p,.- ein r'facher Wiirzelpunkt, so wird der Zug L^=nnmsn die Zahl 2r, und 



der Zug L^—nsmvn die Zahl 2r' als Anzahl der Mutationen bieten. Aus L^ und 



,1 L^ lässt sich durch Weglassung der sich tilgenden Züge nsm und msn der Linien- 



V/^ ^\ zug L = numvn zusammensetzen, welcher somit die Zahl 2(r-\-r') als Anzahl 



"y \ti der Mutationen liefern muss. 



/; "^ ;\ Diese Betrachtung lässt sich auf eine beliebige Anzahl zerstreuter Wnrzelpunkte 



I \ / \ ausdehnen und führt zum folgenden Satz: 



1 ""•--., ^■■' j Enthält eine wie immer gestaltete Umgebungslinie an ihrem Umfange keinen 



/ Wurzelpunkt, und im Bereiche des von ihr eingeschlossenen Raumes die durch 

 V "^^Z angehängte Zeiger zu deutenden vielfachen Wnrzelpunkte p^ , p^' , Pr" , ?/"•••> 



(17) ^. so wird sie in Bezug auf das Umgebungsverhältniss öx, j, die Zahl 2{r-\-r'-^r" 



-\- r'" -\- . . . .) als Anzahl der Mutationen bieten. 

 Oder: Eine angenommene Umgebungslinie veranlasst in Q^,, eine doppelt so grosse Anzahl von Muta- 

 tionen, als die Anzahl der innerhalb derselben eingeschlossenen Wurzelpunkte beträgt. 

 Die Umkehrung des Satzes ist offenbar gestattet und spricht sich im Folgenden aus : 

 Bietet der Ausdruck Q^,, in Bezug auf eine angenommene Umgebungslinie eine gewisse Anzahl von 



(19) Mutationen, so sind im Bereiche des von ihr eingeschlossenen Raumes die Hälfte so viel Wurzelpunkte 

 angedeutet. 



Ist x-{- iy kein Wurzelpunkt der Gleichung; ist ferner är = a; + pcosfji, ?/ = ?/ -|- p sin fx und bei beliebi- 

 gem iK p = oo, SO stellt die aus dem veränderlichen Ausdrucke x-\-iy hervorgehende Punktfoige einen aus 

 dem Centrum x-\-iy mit einem unendlich langen Radius = p beschriebenen Kreisumfang vor, innerhalb des- 

 sen ganz gewiss die sämmtlichen der gegebenen Gleichung angehörigen Wurzelpunkte zu liegen kommen. 

 Bei der Bildung des Ausdruckes Q'x',, ist es bei p = c3o nur nöthig in seinem Zähler und Nenner bloss Glie- 

 der mit der ^ten Potenz von p beizubehalten, sobald die Gleichung vom wten Grade vorausgesetzt wird, 

 und man erhält 



(20) Q^;- '"'^Z^^"V\ =eotg(«„+«,). 



(y„p„ sin (a„ -fwfx) 



Für alle möglichen, zwischen Null und 2tz liegenden pi-Werthe wird Q'^ ganz gewiss die Zahl 2« als 

 Anzahl der Mutationen bieten, und hiemit besagen, dass im Bereiche der unendlichen Kreisfläche, d. h. im 



(21) Bereiche der Ebene xoy n Wurzelpunkte der Gleichung angedeutet sind. (Dies wäre ein zweiter Beleg für 

 den in §. 1 ausgesprochenen Satz.) 



