Studien Im Gebiete numerischer Gleichungen. 



2?^' 



Denken wir uns zwei Werthe von fx, etwa |u., und fXj, von der Beschaffenheit, dass infolge derselben die 

 Relation («„ -\-n\i.^ — (a„ -|- « fx,) = tt erfüllt wird, so erhalten wir 



f^2 — /^l == 



(22) 



Von den Ausdrücken («„ + «itJi,) und («„ -\-n\).^ bildet entweder keiner ein Vielfaches eines Quadranten, 

 oder sie bilden gleichzeitig ein gerades, oder gleichzeitig ein ungerades Vielfache eines Quadra,nten. 

 Wenn nun jXj die Stelle einer positiven Mutation flir Q^^ andeutet, so muss dies auch bei ^^ der Fall sein. 



Demgemäss erscheinen die 2w möglichen Stellen der positiven (^"' 

 Mutationen auf der unendlich grossen Kreisperipherie so ver- 

 theilt, dass je zwei den Nachbarpunkten dieser Art angehörigen 



Kreisradien den Constanten Winkel - einschliessen. 



n 



Ein jeder Durchmesser dieses Kreises , d. h. eine jede 

 unbegrenzt gedachte , durch einen beliebigen Punkt x -f- iy 

 gelegte Gerade theilt die erwähnte Kreisperipherie in zwei Hälf- 

 ten ab, deren jede durch ihre Punktfolge im Ausdrucke Q^y die (24) 

 positive Mutation w-mal veranlasst. Wie aber schon erwähnt 

 wurde , darf die Durchmessergerade keinen Wurzelpunkt in sich 

 bergen. 



Sei nun in (25) im verjüngten Massstabe ein solcher Kreis dargestellt, p sei der dem Ausdrucke x-\-iy 

 entsprechende Punkt , und ww' der ins Auge gefasste Diameter, welcher durch seine Punktfolge in Q^,, die (25) 

 Zahl V als Anzahl der Mutationen veranlasst. 



Sind in der einen Kreishälfte in, in der andern m' Wurzelpunkte angedeutet, so findet man, da auf 

 jede Peripheriehälfte n Mutationspunkte fallen: 



n -\-v -■ 



-V -\- n- 



hieraus 



m = 



: -^ (ji-i-v) ] m'^-^(9i — v) , v^m — m 



(26) 



wobei selbstverständlich die Gerade wie' in ihrer ganzen Ausdehnung zur Bestimmung von v zu verwenden 

 sein wird. 



Seien die Geraden LJjL^ so beschaffen, dass die betreffenden Punktfolgen in Öxy die Zahlen v, , m^ als 

 Anzahl der Mutationen veranlassen, so erhält man 



{L,...L,): 



1 



o y'i 



("s-"^!) 



(27) 



sobald das Symbol (i, ■ ■ -L^) zur Bezeichnung der Anzahl von Wurzeln dient, welche auf dem zwischen L^ 

 und Lj enthaltenen Streifen ihre Wurzelpunkte haben. 



Um die Anwendung der in diesem §. gewonnenen Sätze (12) (19) (26) (27) so bequem als möglich zu 

 machen, theile man die um den Axenursprung herumliegenden Partien der Ebene xoy nach Belieben in 

 grössere oder kleinere Rechtecke ab, deren Seiten beziehungsweise zu den Axen ox, oy parallel liegen. 

 Jedes dieser Rechtecke kann man als eine Umgebungslinie von Wurzelpunkten ansehen und behufs der Ermitt- 

 lung der Anzahl der innerhalb dieses Rechteckes angedeuteten Wurzeln untersuchen, wie gross die Hälfte der 

 Anzahl der Mutationen sei, welche die Punktfolge am Umfang des in Betracht gezogenen Rechteckes in Bezug 

 auf Q.,y bietet. Hiebei tritt der besonders günstige Umstand ein, dass die Untersuchung bezüglich derPiinkt- 

 folge der einzelnen Seiten des aufgenommenen Rechteckes sich bloss auf eine der Variablen bezieht, weil 

 bei jeder der vier Umfangslinien von den Coordinaten x, y immer eine constant sich ergibt. 



(28) 



