238 Lorenz Zmurko. 



Seien für a' > a, h'>h etwa x = a, x = a ■,y = b, y=h' d\& Gleichungen der vier Geraden, in denen 

 die Seiten des zu untersuchenden Rechteckes enthalten sind, so kommt es darauf an: den Ausdruck Qa'y^^^ 

 y=6'bisy==6; den Ausdruck Q^i, von x = a' bis x=a\ den Ausdruck Q^y von y = b bis y = h'; und 

 endlich den Ausdruck (^^j- von a; = a bis x=a' zu untersuchen, in jedem dieser Fälle die Anzahl der Mutatio- 

 nen anzugeben, um schliesslich aus der Hälfte des Gesammtbetrages der Anzahlen der Mutationen die Anzahl 

 * der im betreffenden Rechtecke angedeuteten Wurzeln zu erfahren. Die mit Q bezeichneten Ausdrücke lassen 

 sich diesfällig in folgenden Formen darstellen : 



Qay-^^^-'^y + ^^y--^^- 



A„-\-A^y-^A,y^ + 

 (29) 



Qxb- 



B^-\-B^x-\-B^x^-\- 



in welchem die mit A bezeichneten Coefficienten aus der constanten Coordinate x = a, und die mit B be- 

 zeichneten aus der constanten Coordinate y = b berechnet werden. 



In jedem dieser Fälle (29) kommt es darauf an, in der Zählerfunction innerhalb der angedeuteten Gren- 

 zen die möglichst kurzen Partialintervalle zu bestimmen, in welchen die einzelnen primären Werthe der 

 Variablen liegen, welche dem Zähler den Nullwerth ertheilen, dergestalt, dass innerhalb eines solchen 

 Partialintervalles die Nennerfunction nicht verschwindet und somit ein constantes Vorzeichen beurkundet. 

 ^ Die aus jedem solchen Intervall unmittelbar hervorgehende Mutation wird eine positive oder eine negative 

 sein, je nachdem das constante Vorzeichen des Nenners mit dem Vorzeichen des Zählers im Vororte seines 

 Verschwindens übereinstimmt oder nicht. 



Sind die in (27) erwähnteu Geraden L^, L^ durch die Gleichungen a- = f?, , x = a^ dargestellt, so hat 

 man es mit den Ausdrücken Öa,,v ""d Qa^v zwischen den Grenzen y = — oo bis y = oo zu thun, um die be- 

 treffenden Mutatiousanzahlen v, uud Vj zu bestimmen. 



Bisweilen ist es vortheilhafter, statt Q^y den Ausdruck — (ö^^)-' in Bezug auf die Mutationsanzahl zu 

 consultiren und dies besonders in denjenigen Fällen, wo der Zähler von Q^.j in Bezug auf die in Betracht 

 gezogene Variable einen höheren Grad beurkundet als der Nenner. Es ist nämlich 



(31) — ^~ = tang («, + /• fx) 



ein Ausdruck, welcher bei Übergängen des Bogens {a^ -\- >• il) aus dem Bereiche eines geraden Quadranten 

 in den Bereich eines ungeraden, gerade so, wie der Ausdruck Q^y 2r Mutationen darbieten wird. 



Das sub (30) angegebene Verfahren zur Ausmittlung der Mutatiousanzahlen von Q^ „ , Q^ ,, werden wir 

 in einem der späteren Paragraphe sowohl durch Rechnung, als auch durch Construction durchzuführen lehren. 

 Hier möge noch eine dem Mathematiker Sturm nachgebildete Methode zum Vortrag kommen, welche einer- 

 l'32\ seits sich durch die Einfachheit der ihr zu Grunde liegeuden Theorie, andererseits in diesem Falle sich be- 

 sonders dadurch empfiehlt, dass man mit ihrer Anwendung die Mutationsanzahl anzugeben vermag, ohne 

 nach den wirklichen Stellen zu fragen, an welchen Q^y, Q^i durch Null hindurchgeht. 



Zwei Functionen bilden für solche Werthe der ihnen zu Grunde liegenden Variablen einen Zeichen- 

 wechsel (Variation), für welche die entsprechenden Functionswerthe entgegengesetzt bezeichnet 

 erscheinen. 

 (33) Zwei Functionen bilden für solche Werthe ihrer Variablen eine Zeichenfolge (Zeichenpermanenz), für 

 welche die entsprechenden Functionswerthe gleichbezeichuet sich ergeben. 



Bei einer Reihe von mehreren, etwa (m + 1) Functioneu könnte man bei jedem der m möglichen Paare 

 von Nachbarfunctionen augeben , ob sie bei gegebenem Werthe ihrer Variablen den Zustand eines Zeichen- 

 wechsels oder den einer Zeichenfolge aufweisen. Findet man hiebei a Zeichenwechsel und ß Zeichenfolgen, 



