Studien im Gebiete numerischer Gleichunrfen. 2o0 



so muss offenbar die Gleichheit a-|-j3 = TO zutreffen. Ergeben diese (to-|-1) Functionen beim Übergange 

 von einem Werthe der Variablen zu einem anderen einen Gewinn an Zeichenwechseln , so muss nothwen- 

 diger Weise ein eben so grosser Abgang an Zeichenfolgen sich kundgeben, und umgekehrt. 



Die Durchgangsstelle von Q^t,, Q^,, durch eine positive Mutationsstelle ist in Bezug auf das Funetions- 

 paar Z^, s^ diejenige Stelle, wo die Zeichenfolge dieses Functionspaares in einen Zeichenwechsel übergeht. (,S4j 



An den Stellen, wo die Ausdrücke Q^^, Q^b eine positive Mutation aufweisen, geht der Zeichen Wechsel 

 des Functionspaares <?',,, z^^ in eine Zeichenfolge über. 



Denke man sich eine Reihe von Functionen : 



'^0' *^o' 3i > 32' 33' • • • S»— 1 ' h ("^5) 



von der Beschaffenheit, dass die denselben im Beginne eines Intervalls zukommenden Anzahlen von Zeichen- 

 wechseln und Zeichenfolgen nur an denjenigen Stellen eine Änderung erfahren, an welchen Z^ durch Null 

 hindurchgeht, also nur an Stellen je um eine Einheit sich ändern, wo die dem Functionspaare [Z^^, s„) ent- 

 sprechende Zeichengruppe einen Übergang von Zeichenwechsel zur Zeichenfolge, oder von Zeichenfolge 

 zum Zeichenwechsel beurkundet. Einer solchen Functionsreihe könnten wir uns dazu bedienen, um in dem 

 ihr jeweilig angehörigen Zeicheneomplex die im Verlaufe des Intervalls beim Paare (Z^, z^ nach und nach 

 auftauchenden Zeiehenwechsel oder Zeichenfolgen aufzuspeichern, und dann am Schlüsse des Intervalls den 

 Gesammtgewinn oder Gesammtverlust an Zeichenwechseln zu erfahren , und denselben beziehungsweise 

 durch eine positive oder negative Zahl o auszudrücken. Die Zahl ö ist der Unterschied, welchen man erhält, 

 wenn man von der Anzahl Stellen , an welchen [Z^^ , z^ einen Übergang von Zeichenfolge zum Zeichen- 

 wechsel beurkundet, die Anzahl derjenigen Stellen subtrahirt, an welchen dieses Functionspaar einen Über- 

 gang vom Zeichenwechsel zur Zeichenfolge darbietet. Der in (34) angeführten Aussage gemäss erhält man (36j 

 auch 0, wenn man in Bezug auf das angenommene Intervall von der dem Q^,, zukommenden Anzahl positi- 

 ver Mutationen die Anzahl der diesem Ausdrucke in demselben Intervall angehörigen negativen Mutationen 

 subtrahirt. Eine in dieser Weise aufgefasste Zahl o stellt somit ganz genau die Anzahl der im anberaumten 

 Intervall stattfindenden Mutationsanzahl vor , wie solche bereits sub (4) und (5) zur Sprache gebracht 

 wurde. 



Im Sinne Sturm's vorgehend, erhält man die zum vorgelegten Functionspaare (Z^ , sj erforderliche 

 übrige Reihe jj, .^j, 33, . • . jr-p h als eine Reihe von aufeinander folgenden Resten, welche zum Vorschein 

 kommen , wenn man in Bezug auf (Z^ , z^ dasjenige Verfahren beobachtet, welches behufs der Auffindung 

 ihres grössten gemeinschaftlichen Maasses vorgeschrieben ist, mit der einzigen Nebenbemerkung, dass man 

 den jeweilig gefundenen Rest vorerst entgegengesetzt zu nehmen hat, bevor man denselben bei der fortge- 

 setzten Operation als den nächstfolgenden Divisor verwendet. 



Dem eben Gesagten gemäss muss die auf diese Weise hervorgehende Functionsreihe folgenden Rela- 

 tionen genügen : 



«o = '/i3i — .5 



9i — 'h 12 " 



3'— 2 1'—\ 3'— t 



(37) 



wobei die Operation des successiven Dividirens so weit fortgesetzt gedacht wird , bis man auf einen von der 

 Variablen unabhängigen und von Null verschiedenen Rest j^ kommt. Dies gelingt uns jedesmal, sobald die 

 in Betracht gezogene Umgebungslinie keinen Wurzelpunkt in ihrem Umfange beherbergt. (38) 



Ein gleichzeitiges Verschwinden eines Paares von Nachbarfunctionen aus der Reihe (35) , etwa des 

 Paares (5^ , 53) ist unstatthaft, weil zufolge der dritten und vierten Relation in (37) wegen 3j = j^ = 



