240 Lorenz Zmurko. 



(39) auch j, und 5^ verschwinden miisste. Der Zustand des gleichzeitigen Verschwindens eines Paares müsste 

 sich demgemäss auf das vorhergehende Paar (;|, , jj) und auch auf das nächstfolgende Paar (^3, ;;^) ver- 

 erben und schliesslich das gleichzeitige Verschwinden von Z^^ und s^ und j^ im Gegensatze zu (38) 

 bewirken. 



Bringt ein Werth der Variablen eine der mittleren Functionen aus (35), etwa 3^, zum Verschwinden, so 

 ^ ^ drückt er vermöge (37) den Nachbarfuuctionen j,_^ und ;^,+, gleiche und entgegengesetzte Werthe auf. 



Die Function 3, erhält zwar unmittelbar vor und nach dem Verschwinden entgegengesetzte Vorzeichen, 

 /.i>, liefert jedoch , mit beliebigem Vorzeichen genommen , in Bezug auf die entgegengesetzten Vorzeichen der 

 Nachbarfunctionen 3^-, , 3s+, jedesmal nur Einen Zeichenwechsel und Eine Zeichenfolge. 



Die Anzahl der einer Functionsreihe (35) angehörigeu Zeichenwechsel und Zeichenfolgen wird nicht ge- 

 (42) ändert, so lange keine dieser Functionen durch Null hindurchgeht, aber zufolge (41) auch dann nicht, wenn 

 bloss Eine oder auch mehre der intermediären Functionen in (35) durch Null hindurchgehen. 



So oft aber Z^, durch Null hindurchgeht , vermehrt sich jedesmal die Anzahl der bestehenden Zeichen- 

 ,,„ Wechsel um eine Einheit, oder nimmt um eine Einheit ab , je nachdem der Ausdruck Q^t"^'^^ Qa<, an dieser 

 Stelle eine positive oder negative Mutation beurkundet. 



Aus dieser Darstellung ist genügend zu ersehen, dass die nach Sturm eonstruirte Functionsreihe alle 

 erwünschten und in (36) angedeuteten Eigenschaften aufweist und demgemäss zur Auffindung der Mutations- 

 anzahl für Qxt , Qay sich vollkommen eignet. 



Um also die Anzahl der Mutationen in Bezug auf Q^i, im Intervall {x = a^ bis x = a^) zu bestimmen, ver- 

 fährt man also : 

 ,.,-. Man construire nach (37) die Functionsreihe Z^, z^, j, 3^ . . . 3,.; berechnet ihre Werthe für x = a^ und 



erhält aus der sich ergebenden Zeichenreihe etwa fx^ Zeichenwechsel; dann führe man in den Functionen die 

 Substitution x=^a^ durch, und erhält aus der hieraus resultirenden Zeichenreihe etwa |x, Zeichenwechsel, 

 schliesslich findet man für Q^^ im anberaumten Intervall 



/iRN Anzahl der Mutationen für Qif, = [i.^ — pi, . 



Im Falle «, = —00, «^ = 00 ist die Ausmittlung der Anzahl der Mutationen höchst einfach, weil hiebet 

 (AR\ in einer jeden Function bloss ein einziges, und zwar das mit der höchsten Potenz von x begabte Glied zu be- 

 rücksichtigen ist. 



Einer besonderen Erwähnung verdient der Fall, wo in Q^t, der Neuner eine derivirte Function des mit 

 lauter primären Coefficienten begabten Zählers ist. In diesem Falle hat man : 



(47) Ö. 



na„x"-^ -\- (w— l)a„_, x"-''+... -j-a, /j {x) 



Ist a eine Wurzel der Gleichung/(a) = und p sehr klein, so erhäh man : 



/(«+P) __ /(«) + p/i(«) _ ?fM) _ ^ biemit 



<^^' 



/(a + p) _ 



r ■ 



■. = a-\-p /i(« + p) 



Hieraus ersieht man, dass Q^i, vor jedesmaligem Verschwinden sich negativ, und unmittelbar nach dem 

 Verschwinden positiv gestalten muss, weil der erste Zustand aus einem negativen, der letztere aus einem 

 positiven p hervorgeht. Der Ausdruck Q^^ bietet diesfällig in jedem beliebig angenommenen Intervall lauter 

 negative, etwa p. Mutationen, und — (jl ist dann die verlangte Anzahl der Mutationen. 



In diesem Falle bilde man sich nach (37) die Functionsreihe 



(49) f{x) , f^{x) , 3, , 3j . . . 3. , 



