Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 241 



substituire in dieser Reihe durchgeheuds x^a^, und erhält wie oben etwa ^j Zeichenwechsel; dann tindet 

 man entsprechend der Substitution x^er, etwa p., Zeichenwechsel, und hat schliesslich: 



Anzahl der Mutationen = \i.^ ~^.^ = . — {^.^ — (j.^) . (50j 



Hiebei ist jedoch die Bedingung festzuhalten , dass f{x) und /,(a;) im angenommenen Intervall nicht 

 gleichzeitig verschwinden dürfen , dass somit die Gleichung f{x) = im gegebenen Intervall keine wieder- 

 holten primären Wurzeln besitzen darf. Auch ist es leicht zu ersehen , dass die in (49) erhaltene Zahl 

 geradezu die Anzahl Stellen andeutet, in welchen der Zähler/(a;) durch Null hindurchgeht, dass also (,u., — \l^) 

 auf die Anzahl der primären Wurzeln hinweist , welche im angenommeneu Intervall enthalten sind und der 

 Gleichung/(a;) = angehören. 



Aus (48) sieht man, dass an jeder Stelle des Intervalls, wo der Zähler /(.») verschwindet, im Vororte 

 des Verschwindens Zähler und Nenner verschieden bezeichnet , und unmittelbar nach dem Verschwinden 

 gieichbezeichnet erscheinen müssen , dass also beim Übergange durch eine solche Stelle im Bereiche der 

 Functionsreihe jedesmal eine Zeichenfolge gewonnen wird. Hieraus ist klar, dass gleichwie der Zähler beim 

 Übergange von irgend einem Vororte seines Verschwindens zum nächstfolgenden Vororte dieser Art sein(5ji 

 V'orzeichen wechselt , dass auch der Nenner /, [x] innerhalb derselben Vororte , somit auch innerhalb der 

 Verschwindungsstellen selbst sein Vorzeichen ändern muss. Hieraus folgt , dass innerhalb zweier einander 

 nächsten Verschwindungsstellen von f{x) sich je eine ungerade Anzahl Verschwindungsstellen von /, (x-) 

 ergeben muss. Es lässt sich schliesslich behaupten, dass zwischen unmittelbar aufeinander folgenden, pri- 

 mären der 61eichung/(a3) = angehörigen Wurzeln a und 5, je eine ungerade Anzahl primärer Zahlen ent- 

 halten sein müsse, welche der Gleichung/,(x) = angehören. 



Um diesen Fall ins helle Licht zu setzen, sei 



i\u) = (52j 



eine mit primären Coefficienten begabte und dem wten Grade angehörige Gleichung. Den dieser Gleichung 

 entsprechenden Ausdruck Q„, findet man aus 



/H-fi/.(-)-f|!.f*(^)--.- 



^ 



L' 



^ 



L 



3C 



Eine zur Axe x'x parallele, neben derselben 

 y sehr nahe liegende Gerade L' L hat zur Gleichung 



(y = 00' = p) und kann als eine solche angesehen wer- 

 den, welche in ihrem Verlauf keinen der Gleichung (52) 

 angehörigen Wurzelpunkt beherbergt. Von den even- 

 tuell möglichen, in x'a; liegenden wiederholten Wur- ^ 

 zelpunkten gehen bekanntlich zwei Systeme von Hilfs- 

 trassen aus, von denen das erste der primären, das 

 (jy zweite der secundären Fläche angehört und in xoy 



lagert. In der Nähe des erwähnten wiederholten Wurzel- 

 y punktes schliessen je zwei demselben Systeme ange- 



hörige Trassenzweige einen constanten Winkel ein, 

 und sind in xoy so gelagert, dass je ein Trassenzweig des einen Systems den Winkel halbirt, welchen die 

 Naclibarzweige' des anderen Systems einschliessen. Hieraus geht hervor, dass mit Bezug auf ü' auch an 

 solchen Stellen Zähler und Nenner in (53) nicht gleichzeitig verschwinden dürfen , weil ja die Begegnungs- 

 punkte der L'L mit den erwähnten Trassenzweigen in abwechselnder Aufeinanderfolge bald der primären, 



Denkschriften der mathem.-naturw. Ol. XXX Bd. Abhandl. von Nichtmitglitdero. ff 



