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bald der secundären Trasse angehören, und somit in regelmässiger Abwechsli:ng bald den Zähler, bald den 

 Nenner zum Verschwinden bringen. 



Man könnte 00' = p eine angebbare , nicht nothwendig unendlich kleine Grösse sein lassen, insofern 

 nicht zu besorgen ist, dass in dem Eaunie zwischen L' L und x'x irgend ein der Gleichung (52) angehöriger 

 Wurzelpunkt sich aufhält. 

 * Hat man sich einmal über die Wahl der Distanz p entschieden, so substituire man im Ausdruck (58) für 



y diesen Werth und ordne den Zähler und Nenner nach den Potenzen von x, und erhält etwa : 



Die nach (.31) bestimmte Functionsreihe y(a-), ^{x), j, , jj . • . Ir bietet für x = a^ etwa fx, Zeichen- 

 wechsel, und für x = a^ etwa [i^ Zeichenwechsel. 



Sind in (54) oberhalb L'L m Wurzelpunkte, und unterhalb L' L m Wurzelpunkte der (52) angedeutet, 

 so findet man vor Allem 



(57) m = m' + j9 



sobald p die Anzahl der im Intervall (o, — a^) befindlichen primären Wurzelpunkte, hiemit auch die Anzahl 

 der primären der (52) angehörigen Wurzeln andeutet. Andererseits findet man nach (45) 



(58) m' — m = ij.^ — ji., , hiemit p = ii-i — /j-^ . 



In Beziehung auf das verhältnissmässig kleine p könnte man den Bruch , ! in den Formen : 



•1) (a:) 



darstellen, sobald man überzeugt ist, dass im angenommenen Intervall die Gleichung (52) in Bezug auf die 

 höchstmöglichste Wiederholungszahl der primären Wurzeln beziehungsweise die Zahlen 1, 2, 3 . . . dar- 

 bietet. 



Der erste dieser Fälle — der vom Mathematiker Sturm in Anwendung gebrachte — ist nur ein spe- 

 cieller Fall des in (56) angedeuteten allgemeinen Verfahrens ; er führt uns in den Fällen von wiederholten 

 Wurzeln während der Bildung der nöthigen Functionsreihe auf einen Schlussrest, welcher von x abhängt 

 und das grösste gemeinschaftliche Mass zwischen /(.z') und/, (.r) darstellt. Insofern dieser Rest im gege- 

 benen Intervall keine Verschwindungsstellen besitzt , behält er für das ganze Intervallcontinuum stets das- 

 '■^^-' selbe Vorzeichen, und in solchen Intervallen lässt sich die mit diesem Reste abschliessende Functionsreihe 

 zur Angabe der verlangten Mutationsanzahl , hiemit auch zur Angabe der in dieses Intervall fallenden der 

 (Tleichung (52) angehörigen primären Wurzeln verwenden. Es lässt sich überhaupt die Functionsreihe mit 

 einem beliebigen anderen Reste abschliessen , von welchem man weiss , dass er innerhalb des ins Auge 

 gefassten Intervalls sein Vorzeichen zu wechseln nicht vermag. 



Bezieht sich die Bestimmung von p in (52) auf ein Intervall [.:£• = o, bis a;=aj dergestalt, dass aus- 

 serhalb dieses Intervalls die f{x) die Stabilität ihres Vorzeichens beurkundet , so drückt p geradezu die 

 sänimtliche Anzahl der primären Wurzeln aus, welche der (52) im Intervall [x = — oo bis a? = -|- ooj ange- 

 ''^^) hören. Über die Bestimmung eines möglichst kurzen mit der eben bemerkten Eigenschaft versehenen Inter- 

 valls werden wir uns bald am Schlüsse dieses Paragraphes beschäftigen. 



In Beziehung auf (52) könnte man zum Behüte der Ausmittelung der Orte von Wurzelpunkteu die Ebene 

 xoif durch ein System von parallelen Geraden L^, L^, L^ ■ ■ • i" Partieen abtheilen und nach (27) befragen, 



