Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 243 



oh und wie viel solcher Wurzelpunkte in jeder einzelnen solchen Partie enthalten sind. Für eine Gerade die- 

 ser Art, welche der Gleichung x = a entspricht, erhält man für «/^ = f 



y ^"v = -% ;» 162 ) 



also einen Ausdruck, welcher in Bezug auf v höchstens dem Jwten Grade angehört, und dann bloss im Inter- 

 vall [v = bis w = cxj] in Betracht zu ziehen sein wird. 



Findet man in Bezug auf den rechts stehenden Ausdruck im Intervalle die Zahl fi als Mutationsanzahl, 

 so ergibt sich für den Ausdruck Q^^ im Intervall [?/ = — oo bis y=z -\-oo] die Zahl 2/ji. als Mutationsanzahl, 

 und man hat schliesslich : 



m' = n-\- [x. , m = n — \j. 



mit der Deutung, dass m' Wurzelpunkte auf der linken und m Wurzelpunkte auf der rechten Seite der Gera- 

 den X:*« sich vorfinden. 



Aus der in diesem Paragraphe gegebenen Auseinandersetzung kann der Leser von Fall zu Fall genü- 

 gende Anhaltspunkte schöpfen , um nach und nach von grösseren Raumabtheilungen zu immer kleineren und 

 kleineren Raumpartieen übergehend, die Orte der einzelnen Wurzelpunkte von einander zu trennen und zur 

 wirklichen Berechnung der entsprechenden W-urzeln vorzubereiten. Hiebei ist der Umstand als besonders ^ ' 

 günstig anzuerkennen, dass bei günstiger Gelegenheit die Bürde der Untersuchung der einzelnen Raumpar- 

 tieen auf mehrere Mitrechner vertheilt werden kann , welche gleichzeitig rechnend , an gemeinschaftlichen 

 Grenzlinien sich gegenseitig unterstützend, sehr rasch die beiläufigen Orte der einzelnen Wurzelpunkte anzu- 

 geben vermögen. 



Zum Behufe der Auffindung eines theoretisch möglichst kurzen Intervalls, in welchem die sämmtlichen 

 primären Wurzeln der Gleichung (52) sich einfinden, sei 



f{x) = ^„a;''+ yl„_,.T''-' + . . . + A,_,x—^+ . . . + A„_,x''---+ . . . + A^ = (64) 



Hieraus findet man : 



/.(,):.!=^;;.jj.x--+["-i]^._,x>—'+...+["-'-J,i,„,.— '+...+ 



['-'y-"'-" +■■+{:]-*■■•- 



ferner sei in {6i) von links nach rechts gehend A„_^ der erste negative und Ä„_, der numerisch grösste von 

 den negativen Coeffieienten ; dann ist in (65) P' 'Ll«-r der erste negative und j'* ' M„_, numerisch 



grösser, als jeder in (65) vorkommende negative Coefficient. Es ist nämlich der Factor \^ '"l der grösste 



von den neben negativen Ä stehenden Binomialcoefficienten , und Än_, das grösste von den negativen A, 



daher — wie schon bemerkt — das Product r*~' Ll„_, numerisch grösser, als jeder in (65) spielende 

 negative Coefficient. 



Für x> 1 , A„>0 ist ganz gewiss 



Anx- ■{- A„_, \ x"- -f X"--' -f . . . + a; + l| <f(x) (66) 



daher /(x) ganz gewiss positiv ausfallen muss , sobald der links in (66) stehende Ausdruck positiv sich 

 ergibt. Dies wird der Fall sein, wenn für J„_,, : .4,, = — I (67) 



ff* 



(65) 



