244 Lorenz Zviurko. 



^n— r+l 2 



a;" > ^ :; — und um so mehr , wenn x"(x — 1) > f «"-'■+' oder 



X — 1 



a;'— ' (a; — ■ 1) > f und um so mehr , wenn {x — 1)''>;^; 

 wenn somit 



(68) x>{VJ+\) = L 



gewählt wird. Für jedes der (68) genügende x erhält f{x) ganz gewiss einen positiven von Null verschie- 

 denen Werth. Daher darf keine der (64) entsprechende positive Wurzel den Ausdruck L übertreffen. 

 Setzt man in (65) 



("D ■^-- (:)■'■= -rr)^ (;.')]--?■. 



so erhält man auf gleiche Weise die Relation 



und es lässt sich behaupten , dass die dieser Relation genügenden a;-Werthe eine jede positive der Glei- 



(69) chung /„(a;) = angehörige Wurzel übertreffen. Da jedoch |> ?', so ist es ausgemacht, dass der Ausdruck 

 L von keiner positiven Wurzel übertroffen werden darf, welche aus einer der Gleichungen 



/(x)=/,(a.)=/,(a-)= - . . =/„_,(a.) = /;_,(x) =0 



gezogen wird. 



Aus (64) erhält man, x = — v setzend : 



(70) +/(— ^') = ^I,.^'" — A_,^'"-' + Ä,-^^'"-'— • • • + (-Ij—M,« + (-l)".4o = 0. 



Bestimmt man hier ebenfalls eine Zahl L' , welche von keiner positiven Wurzel der Gleichung (70), 

 d. h. von keiner negativen Wurzel der Gleichung (64) in numerischer Beziehung übertrolfeu wird, so erhält 

 man schhesslich ein 



('7j\ ' von — L' bis L reichendes Intervall, 



in welchem alle möglichen positiven und negativen primären Wurzeln der Gleichung (64) und ihrer Derivir- 

 ten enthahen sind. 



Im nächsten Paragraphe wollen wir ein geregeltes Verfahren begründen, welches zum Zwecke hat, eine 

 in einigen Aufangsstellen bereits ermittelte Wurzel einer Gleichung durch Rechnung mit jeder gewünschten 

 Genauigkeit zu bestimmen. Um jedoch dem Gang der Rechnung die möglichste Einförmigkeit zu verleihen, 

 wollen wir hier einiger sehr einfachen Transformationen Erwähnung thun , welche uns aus der vorgelegten 

 Gleichung auf eine andere von der Beschaffenheit bringen, dass der der letzteren als Wurzel entsprechende 

 complexe Ausdruck x + itj ohne Änderung des numerischen Werthes sowohl in Bezug auf x , als auch in 

 Bezug auf y positiv ausfalle. 



Aus der Gleichung 



(72) /^(«) =/(«) + ■*>(?<) = 

 könuen wir unmittelbar noch folgende drei herleiten : 



(73) /(+«)— »Y(+m) =0 



(74) /( — jO+ *'«(— «0 = 

 {Ih) /(— ") — «■};{— 20=0. 



