Studien im Gebiete numerischer Gleichuncjen. 245 



Ist nun u = -\-x-\- iy eine Wurzel der Gleichung (72), so ist ganz gewiss : 

 u = -\-x — iy „ „ „ „ (73) , 



u=—x — iy „ „ „ „ (74), (76) 



M = — ^-{-ly ,. „ „ „ (7ö) , 



und es wird bei beliebigem Vorzeichen von x und y unter den vier in (76) angedeuteten Wurzelformen Eine 

 vorhanden sein, deren primärer und seeundärer Bestandtheil ein positives Zeichen beurkundet. Aus der so 

 bestimmten Wurzeltbrm wird sich dann die geforderte Form ohne Weiteres angeben lassen. 



§• 4. 



Gesetzmässige Einschliessung der Wurzeln (Wurzelpunkte) in stets engere und engere 



Grenzen. 



Lässt man die Grössen x, y, Z^^, z^ beziehungsweise in 



f 



• x = x-\-^x, y=y + Ay, Z^ = Zq-\-1Z^, 3^ = z^+\s^ (1) 



übergehen, und sieht die Zusätze Ix, Ay als gehörig klein an, so erhält man mit Hilfe des Taylor'schen Lehr- 

 satzes und mit Beibehaltung der Glieder mit Einschluss der zweiten Ordnung in Bezug auf Aa;, Ay: 



Z^ = Z,+ Z,Ax-z^Ay+ [z,(Ax'-Ay') - 2 z, Aa- A//] , 



z„= z^+ z^ A.r + Z,A.v+ [.•^(A.c^-A//) + ^Z^AxAy] ', 

 oder 



4) — ^0 = ^i (a— a;) — ^^ (y—y) f [z^ ([x—xf — [//— y]") — 1z^ [i- -.,•] [//—//]! 



(3) 

 h,-z,= ., ix^x) + Z, (y-y) + [ ., ([x-xf - [y-yf) + 2 Z, [x-x] [y-y]] • 



Für einen in xoy angenommenen Punkt p ist sein Ausdruck x-\-iy, hiemit auch die Werthe von Z„ 

 und 2g bestimmte Grössen, welche die Längen der in \) zu errichtenden Perpendikel andeuten, um zu den zu 

 p gehörigen conjugirten Punkten P, p zu gelangen, von denen der erste auf der primären, der zweite auf 

 der secundären Hilfstiäche enthalten ist. Lässt man in (3) die Grössen x, y, Z^, z^ als laufende Coordi- 

 naten gelten , so sieht man ein , dass die in (3) augedeuteten Flächen zweiter Ordnung (Sattelflächen) mit 

 den Hilfsflächen: z^Z^, z = z^ in den Punkten P, p eine Osculation zweiter Ordnung eingehen. Man 

 könnte diese Flächen conjugirte Berührungsflächen nennen. Diese Flächen liefern mit zu xoy 

 parallelen Ebenen lauter hyperbolische Schnittcurven und besitzen ihre Centra in derjenigen Verticalen, 



Z -\-iz 

 welche im Punkte ^-\-i-n = x ■\- iy —\ ' "y ' errichtet wird. (4) 



Für .^j=Sj=0 würde man ^-\-iri^x-\-iy erhalten und zugeben, dass diesfällig die Mittelpunkts- 

 verticale durch p selbst hindurchgeht. Legt man durch den Fusspunkt p dieser Verticalen in xoy vier Ge- 

 rade von der Beschaffenheit , dass je zwei und zwei derselben die Richtungen des einem der Hyperbel- 

 systeme angehörigen Assymptotenpaares repräsentiren, so erhält man einen Strahlenbusch von 8 von p aus- 

 gehenden Radien , von denen je zwei Nachbarstrahlen einen Winkel von 45° einschliessen. Der von zwei 

 Nachbarstrahlen des einen Systems gebildete Winkel wird durch einen Strahl des anderen System.'^ hal- 

 birt. (Siehe §. 2 (25). 



Lässt man in (3) die Glieder der zweiten Ordnung -^t^, so erhält man : 



(5) 



