246 Lorenz Zmurk 



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als Gleichungen zweier Ebenen, von welchen die erste E^t in J^ die primäre, die zweite e^, in p die secun- 

 däre Hilfsfläche berührt. 



Sind l, p., V die Richtungswinkel der primären und X', fx', v' die Richtungswinkel der secundären Berüh- 

 rungsebene, so erhält man aus (5) 



IUI Ki-f-o, V cos / = — ; cos a = \ COS v = 



V V V 



^'^) . Z \ 



cos/'=~; cosa'= — ; cosv' = und 



V V V 



(7) f-os [E„ , e,^ = ^ 



Aus (7) lässt sich der von den zwei berührenden Ebenen eingeschlossene Winkel bestimmen. 



Ist p in endlicher Distanz vom Axenursprunge, so muss v endhch verbleiben, und es darf weder cos v 

 noch cos !>' den Nullwerth annehmen. Hieraus schliesst man, dass die Hilfsflächen in endlicher Entfernung 

 vom Anfangspunkte keine BerUhrungsebenen besitzen, welche auf xoy senkrecht stehen. Es dürfen somit 

 die zugehörigen Flächenelemente zur Axe oz nicht parallel erscheinen. Auch ist es leicht einzusehen, dass 

 die Ebenen E^, und «p, auf einander nicht senkrecht stehen dürfen, sobald p in endlicher Distanz vom Axen- 

 ursprunge sich befindet. 



Um die Gleichungen der horizontalen Berührungsgeraden Zp„ Ip, in P und p zu erhalten, setze man in 

 (3) Z^^=.Z^, «0 = ^0 "iid gelangt zu folgenden: 



Zf{x—x)—z^(y—y)=0 L^, 



(8) 



^^ (ä-— a-) + Z^ {y—y) =0 /„, 



woraus hervorgeht, dass diese Geraden auf einander senkrecht stehen. Ist hiebei £;„= Zg = S|,= U, so bildet 

 der Ausdruck x -f ty eine Wurzel der Gleichung F{u) = , die Geraden in (8) schneiden sich in p und 

 belehren uns , dass die in p sich begegnenden Elemente der primären und secundären Trasse auf einander 

 senkrecht stehen. In diesem Falle bildet p einen einfachen Wurzelpunkt der Gleichung i?(«) = 0. 



Bezeichnet man mit pi.,, fx^ die Winkel, welche die Geraden Zp,, l^t ™it ox einschliessen, so findet man 

 aus (8) mit Rücksicht auf §. 1 (4) und (6) 



Z z 



tang fji, = ^ ; tang ^^ = — ^ und hieraus 



(9) ;^i = a, ; p-E = «1 + 2 • 



Denken wir uns zwei Paare von Punkten mxoy, bezeichnen das erste Paar mit (p, p), das zweite ans 

 dem ersten abgeleitete mit (jj , p). 



(lUj 



sind die Systeme von je zusammengehörigen Punkten , Ebenen und Functionen dadurch gekennzeichnet, 

 dass man über jedes einzelne Symbol desselben Systems entweder keinen oder eine gleiche Anzahl von 

 Strichen gesetzt hat. 



