Studien ivt Gebiete numerischer Gleichungen. 247 



Ep, und gp, deuten das conjugirte Ebenenpaar an , welche die Hilfsfläehen in den über p befindlichen 

 Punliten F und p berühren. Dasselbe gilt von E^t und e^, mit Rücksicht auf den Punkt )i. E^ und e^ deuten 

 auf Schnittebeneu hin, in den zu p gehörigen coujugirten Punkten i'undp von der Beschaffenheit, dass 



E^/iEi, , ep//ep, sichergibt. (H) 



E^ und fp deuten auf Schnittebenen , in P und p dergestalt hin, dass E'^HE^t , ep//ep, sich ausbreitet. 

 Im Tableau sind also die angedeuteten je zwei unter einander stehenden Ebenen unter einander parallel. 



In der Nähe eines einfachen Wurzelpunktes können wir eine jede HilfsÜäche als eine kleine Partie 

 einer berührenden Sattelfläche ansehen. Diese Partie zerfällt in zwei Abtheilungen, welche von der entspre- 



sprechenden Trasse ausgehend, die eine oberhalb , die 

 K andere unterhalb der xoy ihren Verlauf nehmen. Da in 



diesem geringen Flächenelement von der wellenförmigen 



Krümmung dieser Fläche nicht die Rede sein kann, so ist 



I " es klar , dass wenn etwa die obere Flächenpartie der 



I Ebene xoy ihre convexe Seite zukehrt, die untere sieh 



1 ^ ganz gewiss mit ihrer concaven Seite wenden muss gegen / 1 o\ 



\ \'tf ' die xoy, und umgekehrt. Die Punkte dieser Abtheilun- 



\ 1 gen mögen Convexitäts- oder Concavitätspunkte 



V J^3't ^x:vP heissen , je nachdem die entsprechende Flächenpartie in 



^-v.^^ ' Bezug auf xoy convex oder concav sich verlauft. 



Ist man im Besitze zweier Punkte p und p in der 

 Ebene xoy\ welche zu beiden Seiten eines jeden der sich schneidenden Trassenzweige , also so zu sagen 

 in die von diesen Trassenzweigen gebildeten Scheitelwinkel vertheilt sind , und an dem Wurzelpunkt selbst 

 hinlänglich nahe liegen, so werden die zugehörigen, etwa auf der primären Hilfsfläche lagernden Punkte 

 P, V ganz gewiss auf entgegengesetzten Seiten der xoy sich einfinden. Ist einer von diesen Punkten, etwa 

 P ein Convexitätspunkt, so muss dann der andere, nämlich 7' nothwendiger Weise ein Concavitätspunkt 

 sein. Eine berührende Ebene i?p, an die Hilfsfläche im Convexitätspunkt P und eine Schnittebene E^ durch 

 den Concavitätspunkt 7' werden die xoy vermöge (11) in zwei parallelen Geraden schneiden, welche sieht-. ,on 

 lieh an der entsprechenden Trassenpartie näher gelagert sind, als die ursprünglichen Punkte p und p. In 

 (12) ist im Verticalschnitt der eben beschriebene Process zur Anschauung gebracht. BW stellt die ]irimäre 

 Hilfsfläche dar mit dem Convexitätspunkte 7' und dem Concavitätspunkte 7'. In V G ist die berührende und 

 VG die schneidende Ebene dargestellt. G und G sind Punkte der erwähnten zwei parallelen Geraden, 

 welche an die in 8 angedeutete Kreuzung der Trassen näher gerückt sind, als p und p. 



Sei ferner p der Convexitätspunkt und p der Concavitätspunkt in der secundären Hilfsfläche, so erhält 

 man die Ebenen e^t und Cp, welche von der Ebene xoy geschnitten, z\^ei parallele Gerade g und g liefern 

 Auch diese Geraden liegen an dem Kreuzungspunkte der Trassen näher, als die Punkte p und p. 



In sofern p und p an einander genug nahe gedacht werden, können wir auf Grundlage (8) schliessen, 

 dass die Richtung der Geraden 6'//G von der Richtung der Geraden gjjg beinahe um einen rechten Winkel/, ,, 

 differirt. Dieser Umstand und das in (13) Angeführte berechtigen uns zu der Erwartung, dass die Punkte p 

 und p, von welchen der erste in G und g, der zweite in G und g enthalten ist, an den Kreuzungspunkt der 

 Trassen näher zu liegen kommen, als die angenommenen Punkte p und p. 

 Der eben angeführten Darstellung gemäss 



liegt der Punkt p in den .Ebenen: xoy, E^,, e^ 



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und der Punkt p in den Ebenen: xoy, E^ , ep,. 



Hiemit hätten wir das Princip zur Darstellung gebracht , auf Grund dessen man den Übergang vom an- 

 genommenen Punktpaar (p, p) zum abgeleiteten (p, p) ohne alle Schwierigkeit durch Rechnung bewerkstel- 



