248 Lorenz Zimirko. 



ligen kann. Es bleibt uns nur übrig, den Übergang von p zu p derart einzuleiten, dass hieraus die Evidenz 

 sehr leicht geschöpft werden kann, welche von den Punkten F, F , p, p als Convexitäts-, und welche als 

 Concavitätspunkte zu betrachten sein werden. In weiterer Folge werden wir bemüht sein , den Nachweis zu 

 liefern , inwieferne das durch p und p begrenzte Intervall den Wurzelpunkt enger einschliesst , als das 

 ursprünglich angenommene Intervall zwischen den Punkten p und p. 



Denken wir uns den Punkt p durch den Ausdruck (23 -24-)- 31 •562) bestimmt , so ist hier x= 23-24, 

 yr=31 -56, und für Weiteres lassen sich die Ausdrücke Z^, Z^, Z^ . . . z^, 2,, z^ . . . mit Zugrundelegung 

 dieser Werthe von x und y ermitteln. Setzen wir Aa== Ay= t= 10~*, so finden wir zur Bestimmung von p 

 .r = 23 • 25 , ;;/ = 31 • 57, d. h. Zahlen, welche aus x und y durch Erhöhung ihrer dekadischen Schlussstellen 



t I I 



/jg^um eine Einheit hervorgehen. Den Werthen von x und ?/ entsprechend lassen sich die Grössen Z^, Z^, Z^... 

 z^, 2j, Sj... berechnen. Findet man Z^.Z^<0, z^.z^<iO und ausserdem jede von den Grössen Z^, Z^, s,, z^ 

 in dem angenommenen Intervall in Bezug auf das Vorzeichen stabil , so ist man berechtigt zu schliessen, 

 dass es zwischen x und x eine Zahlp, dann zwischen y und y eine Zahl g geben muss von der Beschaffen- 

 heit, dass durch den Ausdruck j? + y* die Lage des wahren Wurzelpunktes bestimmt wird, dass somit dieser 

 Ausdruck den zu bestimmenden Wurzelwerth selbst darstellt. 



Die Zahlen p und g werden natürlicher Weise erst von der dritten Decimalstelle angefangen von den 

 Zahlen x und y sich verschieden gestalten , und eben diese weiteren Decimalstellen sind es , welche wir 

 durch die sogenannte Methode der Einengung des Wurzelintervalls zu bestimmen haben. 



Sei nun der Ausdruck x-\-iy so beschaifen , dass die Zahlen .» und y in Bezug auf den dekadischen 

 Zeiger ihrer Schlusszitfern übereinstimmen, und in Bezug auf ihre Werthe ganz genau die Anfangsstellen 

 des primären und des secundären Bestandtheiles der in Rechnung stehenden Wurzel repräsentiren. Zur Be- 

 stimmung von p erhalten wir x-\-iy^(x-\-T)-\-i{y-}-y), wobei r eine Einheit der dekadischen Schluss- 

 ' Vste-Jle von x und y andeuten mag. In diesem Falle ist die Verbindungsgerade von p, p eine solche, welche 

 den Winkel xoy halbirt, ■ — und der Übergang von einem Punkte dieser Geraden zum nächstfolgenden 

 geschieht dadurch, dass man die Coordinaten des vorhergehenden Pimktes um gleiche Incremente Aa; = A;/ 

 vermehrt. 



Zur Bestimmung der Punktfolgen auf der primären und secundären Hilfsfläche, oder eigentlich auf den 

 zugehörigen Berührungssattelflächen, welche über der Geraden pp liegen, erhält man aus (2) 



* z, = z, + ^x{Z,-z,)~2z^^x\ 



^=s„+Ax(Z,+.J+2Z3AxS 



mittelst welchen man für jedes angenommene kleine Aa^ die Werthe von Z^ und s^ berechnen kann. Für 

 Aa; = geht aus der ersten Gleichung der Punkt P mit den Coordinaten {x, y, Z^) und aus der zweiten der 

 Punkt p mit den Coordinaten (x, y, 2J hervor. 



Aus (18) erhält man durc^i Vernachlässigung der Glieder mit Aa;' die Gleichungen der berührenden 

 Geraden, von denen die Eine die primäre Punktfolge in F, die andere die secundäre in p berührt. Diese 

 Gleichungen sind : 



(19) Z„=Z, + AxiZ,~z^); z^ = z„+Ax(Z,-^z,). 



Für z^Zg>0 ist bei beliebigem kleinen Ax Z^ numerisch kleiner als Z^. Es wird demgemäss jeder 

 Nachbarpunkt von J' in der primären Punktfolge zwischen der berührenden Geraden und der Ebene xoy sich 

 aufhalten, und der Punkt F ist in diesem Falle ein Concavitätspunkt. Für z^Zg<0 ist Z^ numerisch grösser 

 als Z^,, und F ist in diesem Falle ein Convexitätspunkt. 



(20) Für Z^z^>0 ist bei beliebigem kleinen Ax i^ numerisch grösser als z^, und p ist in diesem Falle 

 ein Convexitätspunkt. Eben so ist für Z^z^<0 der Punkt p ein Concavitätspunkt. 



Hieraus ersehen wir, dass die im Früheren eingelegte Verwahrung gegen etwaige wellenförmige Gestal- 

 tung der Flächenelemente in der Nähe eines einfachen Wurzelpunktes bei dieser Untersuchung ihren gehö- 



