Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 249 



rigen Ausdruck darin findet, dass man im Intervall pp an der Stabilität der Vorzeichen von Z^ und z^ 

 festhält. 



Wenn man den in (13) dargelegten Vorgang mit Rücksicht auf die in (20) erkannten Bedingungen 

 gehörig würdigt, so lassen sieh in Bezug auf die Berechnung einer complexen mit gleichbezeichneten Be- 

 standtheilen versehenen Wurzel 4 eventuell möglichen Fälle unterscheiden : 



1. Ist (sjZp<0 und Z^Zq >0), so sind P und p Convexitätepunkte, und demnach /' und p Concavi- 

 tätspunkte. In diesem Falle liegt 



p in den Ebenen xoy , Ep, , e^, , 



(21j 



2. Ist {s^Z^ <0 und •^j3o< 0), so ist P ein Convexitätspunkt und p ein Concavitätspunkt, demnach /' 

 ein Concavitäts- und p ein Convexitätspunkt. In diesem Falle liegt 



p in den Ebenen xoy , E„, , e„ , 



3. Ist {s^Z^ > und Z^z^ > 0), so sind P und p Concavitätspunkte, und die übrigen /' und j; Convexi- 

 tätspunkte; diesfällig liegt 



p in den Ebenen xoy, Ep , ep, , 



P „ ,7 r ocoy , Eil , ei , 



(23) 



4. Ist endlich (z^Z^ > und Z^s^ < 0), so sind P und j) Concavitätspunkte, und demnach die Punkte 

 P und p Convexitätspunkte ; dann liegt 



p in den Ebenen xoy , E„ , (?„ , 



(2i) 



In (21) geht die Ebene Ep, durch die Punkte {x, y, o), {x, y, Z^) und ist eine berührende Ebene in P, 

 ebenso geht die Ebene ep^ durch die Punkte {x, y, o), {x, y, s^ und berührt die secundäre Hilfsfläche in ^. 

 Dies gibt nach (5) zur Bestimmung von p folgende Gleichungen : 



o — Z^=Z^ {x—x) — z^ {y—y) ; o — s„ =-. a, {x—x) -\- Z^ [f/ —y) (25)' 



Aus diesen erhält man : 



In (21) geht die Ebene Ei durch die Punkte (x, y, o), {x, y, Z^) und ist zur Ep, parallel; eben so 

 geht die Ebene e^, durch die Punkte (x , y, o), {x, y, äj und ist zur e^, parallel. Aus den hieraus resul. 

 tirenden Gleichungen : 



— Z^ = Z^ (x—x) — z^ tv— //) ; — i„ = s, (x—x) + Z, (//—// ) ^-26) 



erhält man : 



X — X ■■ 



y y A- ^ - ^ y y 



'^ 1 '^0 ^i 



z z -^ ~ z ' ■'~-' ^ y y -i-~ - ■ (26) 



In (25) und (26) haben wir die Lage von p und p mit Rücksicht auf (21) festgestellt, und es wird sehr 

 leicht sein, dasselbe Verfahren beobachtend, die Lage dieser Punkte mit Rücksicht auf (22), (23) und (24) 

 zu bestimmen. Auf diese Weise gelangen wir zu folgendem Schema : 



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