Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 251 



■ ' I 



. ^* -^o ^t ^o 



; = ^— y = 2T 



»•"l'^i 



y—y 



2 -2 ^1^2 +-^1-^2 



I * 



''2 = 2/— y = 2T^-J-r^ ?-? 



(32) 



-^1-^1 + Ml -^l^l + ^l«! 



In Beziehung auf die conjugirten Punkte P, P, ^, jl, welche über den in xotj lagernden Punkten p, p^ 

 auf den entsprechenden Hilfsflächen liegen, erhält man nach (3) die Relationen: 



« ut ■ * 



'"S ='^0-'^0=— •='l'2'l+^E«l +-^2(^2— rD+2T,Tj2j, 



^3=^0— 20=—''l^l— ^"2^1 +^2(^-^1' -"^1^24- 



welche zur Ermittlung der jeweiligen Verticalintervalle zwischen P, P, dann zwischen ji, /> dienen, sobald 

 man zu diesem Zwecke irgend welche der in (31), (32) enthaltenen Intervallbestimmungsformeln verwendet 

 Man findet ferner die Relationen : 



4 = Z, + 3r(Z3-^3) + & 



^2 = ^2 + 3 ^(-^3+ Sj) + & 



Z, =Z, + 2r(Z,-^,)+& (3^) 



2. = .^, + 2r(Z, + ^,) + & 



aus welchen für gehörig kleines r ersichtlich ist, dass von den Functionen Z, , Z^, «,. «^ jß'ic einzeln inner" 

 halb des Intervalls \x-\-iy, x-\-iy\ continuirlich wächst oder abnimmt, sobald man überzeugt ist, dass in- 

 nerhalb des angeführten Intervalls auch die Ausdrücke {Z^-\-z^, {Z^ — s^), (Zj-j-Sj), {Z^ — z^ eine Stabilität 

 ihres Vorzeichens beurkunden. 



In Bezug auf die Grössen {Z^ — ?,), (Z,-f-Sj) kann hier noch hinzugefügt werden, dass sie den Relationen 



■^0(^1— ^i)<0, Zo(^, — s,)<0 ^.^^ 



genügen müssen , wenn überhaupt von einer continuirlichen Einschliessung des zu bestimmenden Wurzel- 

 punktes gehandelt wird. Es wird nämlich nur unter diesen Bedingungen möglich , beim Fortschritt im 

 gedachten Intervall die Grössen Z^ und z^^ , hiemit auch den Ausdruck {^Z^ -|- tsj immer näher und näher 

 dem Verschwinden zuzuführen. 



Auf Grund (35) und der den Fall (I) kennzeichnenden Bedingungen findet man : 



^,(Z,-^,)>0; Z,(Z, + ^,)<0, 

 hieraus 



(sj Z, — 2, Z^ > (s, Sj -f Z, Zj) , 

 hiemit auch 



T, > Tg 



und in der hier angedeuteten Weise vorgehend gelangt man zur Überzeugung, dass in den sämmtlichen Fäl- 

 len (I), (II), (III), (IV) sich die Relation 



r, >— T,, oder {x—x)->{y—Tj) (36) 



bestätigt, was auch sein muss, weil die Intervalldistanzen r, und r^ beide positiv sich ergeben müssen. 



Bei einer gegebenen Gleichung, deren Wurzel in dem bereits bekannten Ausdrucke x-\-iy in Bezug auf) 

 beide Bestandtheile in den Anfangsstellen mit Einschlnss etwa der ?iten Decimalstelle repräsentirt ist, 



gg* 



