252 Lorenz Zmurko. 



berechne man mit Rücksicht auf die entsprechenden in (27) ersichtlichen Bedingungen die Grössen r, und r^ 

 in zwei Anfangsstellen. Findet man hiebei 



(37) (das numerisch grossere r) = ^^j:^^ + j^^^ + ■ . . 



so bestimme man dann nach (27) bis auf die (s-t-2)te Decimalstelle die AVerthe : 



(38) x — .c = cc. Je — x=a, 1/ — i/ = ß, i/~T/ = ß 



und findet etwa 



„ ni, m', 



^' = ''-^ = ^-'^^ « = lÖM^ + TövP + • • • 



(39) wobei r = K»^" . 



... n n "'s '"'s 



r, = .'/-!/ == r-ß-ß = ~^^ + j^^^ + . . . 



i4U) ^^^ """ ^^^' f^'-Werth des grösseren r in (39)] =k-\-2n, so sieht man vor Allem ein, dass wenn etwa 



im Fall (I) der grössere von den Ausdrücken 



Z^ Z, -|- z^ «1 z, Z, + ^1 ?| 



U V 



in der Form r -\ r^ + • • dargestellt wird, dieser Werth sich im Verlaufe der fortschreitenden 



Rechnung nicht erheblicli zu ändern vermag, weil die in diesen Ausdrücken spielenden Grössen ^,, z^, Z,. Z^ 



(41) keinen crheblicheu Änderungen unterworfen sind. Dem zufolge wird auch das hiebei zum Vorschein kom- 

 mende / in Bezug auf jeden der in (37) ersichtlichen Fälle bei der i'ortschreitenden Rechnung seinen bei- 

 nahe ungeänderten Werth beibehalten. 



Dieser Auseinandersetzung zu Folge ist es klar, dass die Bestimmungsausdrücke (i- -(-/'//), (.r + iTj) der 

 Punkte fi und jj in Bezug auf die Anfangsstellen der Coordination bis einschliesslich der (2M-|-Ä-)ten Deci- 

 malstelle vollkommen übereinstimmen — und eben in Beziehung auf diese Stellen den wahren Wurzelwerth 

 repräscntiren. In theoretischer Beziehung sollte man das Intervall \{x-\-i]i), {!• -\- iTi)\ als das aus dem an- 

 genommenen. Intervall \{j--\-iit), (i + ey)] abgeleitete engere ansehen. Dies würde jedoch sehr mühsame 



(42) Rechnungen veranlassen, weil man zur Bestimmung desselben unnöthiger Weise sehr viele Decimalstellen 

 entwickeln müsste, von Avelchen die späteren über die (2?j-|-A-)te Stelle hinausreichenden Decimalstellen der 

 wirklichen Wurzel gar nicht angehören. Mit Hilfe der vorhergehenden Betrachtungen können wir uns ein voll- 

 ständig abgegrenztes Intervall von der Beschaffenheit ableiten, dass wir in den Bereich desselben bloss die- 

 jenigen Decimalstellen ziehen, von welchen wir überzeugt sind, dass selbe der Wurzel wirklich angehören. 

 Die Bestimmung eines solchen Intervalls wird nur so viel Aufwand von Rechnung in Anspruch nehmen, als es 

 die Natur der Sache unumgänglich erfordert. 



Bezeichnen wir das neue Intervall mit [[(Ji) + «'(//)J , [(^0 + ^'(.y^j] ? so erhalten wir dem Vorhergehen- 

 den gemäss zu seiner Bestimmung folgende Relationen : 



(i) = .r-f(i^-.r)| ; (aO = (.r) + ^— ^, 



' 2n-|-/; 



(43) ^ , 



in welchen die Ausdrücke (ß — x), (,"/—.'/) nach den der jeweiligen Beschaffenheit der Ausdrücke ^jZ^, Zj i-^ 

 entsprechenden Formeln in (27) zu rechnen sind. Die in (43).,ersichtlichen Indices (2w + Z) deuten an, dass 

 man bei der Berechnung der Werthe von (Je — .r), (//—//) nur so weit zu gehen habe, bis man die dem Zeiger 

 (•_'« -f /.■') entsprechende Decimalstelle erreicht hat. 



