Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 253 



Wiihreiul man im ang-enommenen Intervall {x-\-ty, x-\-ili) die Intervalldistauz (- -|- ir) = —— - voraiis- 



g-esetzt hat , erhält man im abgeleiteten Intervall als Intervalldistanz (t) -f /(r ) = ^ ^^^^. , und es ist klar, 



dass die Einengung des Wurzelintervalles nur dann als effectiv angesehen werden kann, wenn 2n-\-k wenig- 

 stens die Grösse n -\- 1 erreicht, wenn somit die Relation 



in Erfüllung geht. Ist dies der Fall, so gelangt man durch fortgesetzte Rechnung zu immer neuen und neuen 

 Intervallen, welche in ihrer Aufeinanderfolge die Distauzstellenzeiger 



«, -271-^k, 4w + 3Ä:, 8« + 7A-. 16?e+ 15/>\ . . . liefern. 



In den Fällen, wo der Betrag n-\-k bloss eine Einheit oder nur sehr wenige Einheiten beträgt, ratlien 

 wir an, die Grösse k bei etwas fortgeschrittener Rechnung nach (39) zu controliren, und dann das neue k 

 der weiteren Rechnung vax Grunde zu legen. 



Bei der Auswerthung von (ß — x) und (// — y) rechne man den Nenner in (n-\-k-\-l) Anfangsstellen genau, 

 und wenn sieh hiebei jx als Stellenzeiger der höchsten decadischen Stelle ergibt, beachte man den Stellen- j^-. 

 zeiger /a' der Anfangsziffer im Zähler und bestimme den Zähler in (2 n -\- k -\- [j. — (i-'-f 1) Anfangsstellen, um 

 schliesslich die Grössen bis auf die mit dem Zeiger (2?^ + ^) begabte Schlussstelle genau zu ermitteln. 



Bei Beachtung des beschriebenen Verfahrens kann man die complexe Wurzel in beliebig verlangter An- 

 zahl von Decimalstellen ermitteln, sobald man nur bei der Auswerthung der Grössen Z^, Z^. Z^...Sy, z^, z^... 

 Sorge trägt, dass die Functionen Z^ und ^^^ schon beim Beginne der Reclinung in so viel decadischen Stellen 

 mehr etwa zwei, genau bestimmt werden, als die Anzahl der decadischen Stellen beträgt, welche man in der 

 zu bestimmenden Wurzel verlangt. Dies wird bei fortgesetzter Rechnungsoperation das Regulativ sein, in wie 

 ferne die übrigen Functionen Z^, s^, Z^, «j... genau zu rechnen sein werden. 



Im Gegensatze zu den complexen Wurzeln einer Gleichung von der Form 



/(m) + ?>(«) = (4Ü) 



stehen die eingliedrigen Wurzeln. Diese sind entweder primäre Wurzeln oder secundäre Wur- 

 zeln, je nachdem die zugehörigen Wurzelpunkte in der primären Axe ox oder in der secundären Axe o(/(47) 

 gelagert erscheinen. Die primären sind die gewöhnliehen mit dem Vorzeichen -|- oder — begabten Zahlen. 

 Die secundären sind positive oder negative Zahlen, welche neben sich den Factor «=1 — 1 führen. 



Soll eine primäre Zahl =x der Gleichung (46) genügen, so kann dies offenbar nicht anders geschehen, 

 als durch die gleichzeitige Erfüllung der Gleichungen : 



/(,r) = 0, y(a.) = 0. ,4y, 



Man wird zu diesem Zwecke zwischen dem Poljmomen /(.r) und 'j> (x) das grösste gemeinschaftliche 

 Mass, etwa •-^(j?) bestimmen und untersuchen, ob der Gleichung 



^(x) = Q ^4'J) 



durch primäre Wurzeln Genüge geleistet werden kann oder nicht. Dann sind die etwaigen primären Wurzeln 

 der Gleichung (49j auch der Gleichung (46) angehörig. 



In Bezug auf die Ermittlung der secundären Wurzeln zerlege man die Tolynome f(i(') und <ü(u) je in 

 zwei l'artieen, von denen die erstere aus Gliedern mit geraden Potenzen von u, die zweite hingegen aus Glie- 

 dern mit ungeraden Potenzen von h zusammengesetzt sind. Die betreffende Zertheilung gibt etwa : 



/•(«) = («*), + u(a% , y (m) = [tf^J, + u\u^\^ . 

 hieraus 



/•( „) + i^ (u) = j(^/^), -f u i\»\ I -f >:\\ >i% - 1, i(„i)J^ = , (50) 



