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Setzt man hier u = ly, so erhält man die Gleichung (46) diesfällig in folgender Form : 



(51) F(y) + i<P(y) = 0, 



welche wieder auf die Nullmachung des den Functionen F(y) und * (y) zukommenden grössten gemeinschaft- 

 lichen Masses W{y) fuhrt. Sind etwa y^, y^, i/,, ...die nullmachenden und primären Werthe von ^(y), so wer- 

 den die secundären Werthe ^y^, iy^, iy^,. . .als secundäre Wurzeln der Gleichung (46) angehören. 



Die Gleichungen (49) und (51) sind bloss mit primären Coefficienten behaftet, und sind gerade diejeni- 

 gen, deren primäre Wurzeln uns zur Kenntniss der eingliedrigen Wurzeln der Gleichung (46) verhelfen. Aus 

 diesem Grunde werden wir bloss nöthig haben, eine Methode zur Berechnung der primären Wurzeln bloss für 

 solche Gleichungen zu begründen , welche mit primären Coefficienten versehen sind. 



Sei nun eine mit primären Coefficienten behaftete Gleichung folgende : 



(52) ^„«»-f-.4„_,x"-«-f A-ax—H . . . -f J,.r-f ^„=/(ic) = 0. 



Die Gleichung 



(53) Z,=f{x) 



bezogen auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem xoZ^ stellt eine Curve dar, welche die Axe ox in so 

 viel Punkten schneidet, als primäre Wurzeln der Gleichung (52) zukommen. Descartes war der erste, wel- 

 cher diese Curve einer näheren Untersuchung unterzog, und eben nach ihm heisst die Linie (53) in Bezug 

 auf die Gleichung (52) die Descartes'sche Curve. Die Durchschnittspunkte dieser Curve mit der Axe ox 

 heissen primäre Wurzelpunkte. Die Distanz eines Wurzelpunktes vom Axenursprunge, gemessen durch 

 die angenommene Einheitslänge, liefert die zugehörige Wurzelzahl selbst. 



Lässt man x, Z^ beziehungsweise in a; = a; + Aic, Z^= Z^-\- t^Z^ übergehen, und führt die Bezeich- 

 nungen 



(54) /;(a.) = ^ = .!Z. 



ein, so erhält man mit Hilfe der Taylor'schen Reihe und Beibehaltung der Glieder mit Einschluss der 

 2ten Potenz von Aa; : 



(55) Z,= Z^^Z,^x.\^Z^\x\ 



wo 



Z, =/,(.«.. .a. + Aa.):2! 



der bekannten Auffassung des Ergänzungsgliedes entsprechend einen passenden zwischen Z^ und Z^ liegen- 

 den Werth andeutet. 



Die Gleichung (55) lässt sich auch so schreiben : 



(56) z^^z^=Z,{x-x)^\{x-x)^. 



Betrachtet man hier Z^^ und x als laufende Coordinaten, so stellt (56) eine Parabelcurve dar, welche in 

 dem durch die Coordinaten x^ Z^ bestimmten Punkte P die Descartes'sche Curve in der zweiten Ordnung 

 berührt. 



Lässt man in (56) das Glied mit Ax' weg, so erhält man : 



(57) Z^ — Z^ = Z^ (x—x) . . . ip, . 



Hiedurch ist eine Gerade ip, dargestellt, welche die Descartes'sche Curve in dem Über dem Abscissen- 

 punkte \). . .{x = x, Z^ = 0) liegenden Punkt P berührt. 



m 



Für kleine Werthe von Aa; können wir Z^ und Z^ als gleiehbezeichnet betrachten, und gelangen in der 

 schon früher gepflogenen Weise aus der Vergleichung der Relationen (55) und (57) zur Überzeugung, dass 

 der in der Descartes'schen Curve liegende Punkt P 



