Studien im Gebiete numerischer Gleichuncjen. 255 



für Z^Zj, > als Convexitätspunkt, . , 



„ Z^Z^<0 „ Concavitätspunkt 



angesehen werden soll, weil im gedachten Punkte P die Descartes'sehe Curve im ersten Falle ihre con- 

 vexe, im zweiten Falle hingegen ihre concave Seite der Axe ox zukehrt. 



Bevor wir diese Betrachtungen weiter fortsetzen, mögen hier einige für die Zukunft wichtige Bezeich- 

 nungen erklärt werden. 



Für zwei in ox liegende, durch die Coordinaten x und x bestimmte Punkte \>, p erhalten wir über den- 

 selben auf der Descartes'schen Cui-ve die entsprechenden Punkte P, P. 



Eine zu x gehörige, nach (54) zu deutende Functionsreihe Z„, Z„_j, ^„-j. . ■Z.^^, Z^, Z^_, möge 

 kurzweg durch das Symbol (a-)r-, gekennzeichnet werden. Demgemäss erhalten wir den Punkten p und p 

 entsprechend : 



(x\-l^={Zn, Zn-i,. . .Zr, Zr-i) , {x)^=(Z„, Z„_i. . .Z^, Z^ , Z^ 



II II II III V * / 



(x),._i = {Zn, Zn—i ,.. .Z^, Zr_l) , (i)u = {Z„ , Z„^i . . .Z^, Z, , Z^) . 



Von den Functionswerthen Z,, Z, bezeichnen wir den numerisch grösseren mit Z,, den numerisch klei- 

 neren mit Z,. 



Den Quotienten, welchen wir erhalten, wenn wir in {x)^-^ das letzte Glied durch das mit seinem Zeiger 

 multiplicirte vorletzte Glied dividiren, wollen wir den Orientirungsquotus nennen und mit (>,_, bezeich- 



nen. Dies gibt 



(w+l)Z™+, rZr 1 Z, 



(BO) 



± z ^ z ^ z 



(w+l)Z„,-|-, »-Z, \ Z^ 



Diese Quotienten sollen gemeine Orientirungsquotient en heissen. Der Quotient (Zr_,:?-Z,) ist 

 mindestens so gross, wie Qr~^i sonst aber ist er numerisch grösser. Eben so ist der Quotus {Z^-^-rZ^ 

 höchstens so gross, wie ö,_,, sonst aber ist er numerisch kleiner. Der erste heisse starker Orienti- 



X 



rungsquotus und wird mit Qr-i, der zweite hingegen schwacher Orientirungsquotus, und wird 



X ■' 



mit Qr-^ bezeichnet. Demgemäss können wir folgende Relationen schreiben : 



A V 



Von den eben angeführten Benennungen und Bezeichnungen werden wir hier wohl einigen Gebrauch 

 machen, — bemerken jedoch, dass in der Fourier'schen Theorie der Gleichungen die Einführung derselben 

 der Belebung und Klarheit der wichtigsten Gesetze sich besonders förderlich erweisen wird. 



In der Nähe eines primären Wurzelpunktes können wir die Descartes'sehe Curve als eine kleine 

 Partie der berührenden Parabel ansehen. Diese Partie zerfällt in zwei Abtheilungen , welche vom Wurzel- 

 punkt anhebend, die eine oberhalb, die andere unterhalb der Axe ox ihren Verlauf nehmen. Da in diesem 

 kleinen Curvenintervall von der wellenförmigen Krümmung dieser Curve nicht wohl die Rede sein kann , so 

 ist es klar, dass wenn eine dieser Partien als eine Folge von Convexitätspunkten gilt, die andere nothwen- 

 dig als Folge von Concavitätspunkten angesehen werden muss. 



Ist man im Besitze eines in ox liegenden Puuktpaares (p, p), welches ein den Wurzelpunkt gehörig 

 enge einschliessendes Intervall pp bildet, so können wir aus diesem Punktpaar ein anderes (pp) ableiten, 

 welches auf ein den Wurzelpunkt enger einschliessendes Intervall pp deutet, als dies beim Intervall pp der 



