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so findet man folgende, schon an und für sich klare Relationen : 



(4) D^^ = —D^; /V±-D^'=-0|.+^'; D.^^rD^. 

 Nach Taylors Lehrsatz findet man in symbolischer Form : 



. F{x + i,,) = C/+ if) e'-lJ„ = Z„ + »s,, 



(5) mit den Bestimmungen : 



Z^ =/cps Dy — f sin Dj, ; z^ =/sin Dy-\- f cos D,, 

 ferner 



(6) = {Zg + iSg) + {Z^ + ^s^) 7 + {Z^ + iz^) t^ + . . . , mit den Bestimmungen : 



Z^=Z,+ zZ,^z'Z,+ ... 

 ^0 == -^o + ~ -^1 "i" " ^2 + • • ■ 

 Lässt man in (6) x, y in x—rS,, ij — z-q Übergehen, so erhält man: 



F{x + iy) = (i,+ ^■ ^.,) .-(^=^+'-^'.) = Z, + »-^^ = 

 = (Z(, + is„) — (^, + li;,) r -(- {Z^ -\- iz^ t" — ... mit den Bestimmungen : 



ji)^ - (5] i)^ z>^ + . . . j i„ + fl] z)r * i?. - [3] ^r ^: + ■ • ■ K 



Z, = Z„-.Z, + ^Z,-^t+ ... 

 ~o — ^0 ' ^1 -t" ■ •'2 ■ ■'s -r • • • 



(7) 



(8) 



(9) 



(10) 



(11) 



A J- 



Aus (7) und (10) ist die Congruenz der Bildungsgesetze ersichtlich. 



Die einzelnen Glieder in F{x) können wir in der Form Hx^''<, x^'^- . . • a-,,"" voraussetzen und die je- 

 weilige Summe a, + «2 + ^-3+ • • • +««=•« bestimmen. 



Das höchste s bestimmt den Grad des betreffenden Gleichungspolynomes , und man kann versichert 



(12) sein, dass man von den unendlichen Reihen cosi),,, sinZ>„ die der Form —^ angehörigen Glieder nicht 



" «i ! 



weiter zu berücksichtigen haben wird , sobald der betreffende Exponent m sieh grösser gestaltet , als der 

 Grad des Gleichungspolynomes Einheiten zählt. 



Denken wir uns zwei aufeinander senkrecht stehende Axen ox, oy , und in der betreffenden Ebene 

 irgend eine geschlossene ebene Partie, etwa ein Rechtek mit zu ox, oy parallelen Seiten, dessen Umfangs- 

 linie keinen Wurzelpunkt, d.h. keinen solchen Punkt beherbergt, dessen entsprechender Bestimmungsaus- 

 druck etwa x^-^^y^ fähig ist, im Verbände der passend gewählten Werthe von aj,-f ^'^/J,, x^-\-iy^, . ■ . 

 x„-\-iy„ die in (1) gegebenen Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen. Das zugehörige Umgebungsverhältniss 

 auf eine der Gleichungen (1) bezogen, möge mit Q^^,,^ bezeichnet werden, nachdem man oberhalb Q eine der 

 ins Auge gefassten Gleichung entsprechende Anzahl von Strichen gesetzt sich vorstellt. 



