Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 259 



Man erhält entsprechend der Gleichung F'(x) = das Umgebungsverhältniss im Folgenden: 



Q, ^o' /'cosJ,— y'sinZ), 



'■"'~-V /'sinZ>, + y'cosi)/ <l^^ 



Für irgend einen angenommenen Umgebungspunkt erhält man in diesem Falle den Werth von x^ -)- ///, . 

 auf Grund dieser Werthe von .r, , */, bestimme man durch Auflösung der übrigen (n — 1) Gleichungen: 



F"{x) = 0, F"'(x) = 0, F""(x)--=0 . . . F-")(^)=Ü (U) 



irgend eines der genügenden Werthsysteme von: 



'^2 + i'Jz ' ^3 4- ''!/3 , ■ ■ ■ ■'■„ + l>/n 



und erhält durch Einführung desselben in (13) den anfänglichen , dem Punkte (x^ -\- >.y^) entsprechenden 

 Werth von Q'^,,,,, für den nächsten Punkt }[a^i -f 4^,] + ^ L'/i+'i|]! erhält man bei gehörig kleinen S,^ und >;, 

 zur Ausmittelung der entsprechenden Werthe von E^, v;^, Cg, r,^, t^, r,^ . . . f„, '■-« folgende nach (7) zu 

 deutende und in Bezug auf diese Grössen dem ersten Grad angehörige Gleichungen: 



z;'=z;'=...=^w = ...,;' = ,;" = ... = .w = o, (15) 



aus welchen man geradezu die (2m — 2) unbekannten Zusätze t^, ?3 • • • £„, r,^, r,.^ . . . v;„ ziehen, und auf 

 Grund dieser gewonnenen Werthe den Werth des dem nächsten Punkte zugehörigen Umgebungsverhältnisses, 

 nämlich den Werth ö'x,+=„ .v,+'„ berechnen kann. 



In dieser Weise von einem Umgebungspnnkte zum nächsten übergehend, wird man die Anzahl der posi- 

 tiven Mutationen bestimmen, welche der Ausdruck Q'^,,,, beim Durchlaufen der ganzen Umgebungslinie dar- 

 bietet. Aus der halben Anzahl positiver Mutationen wird man auf eben so viele Wurzelpunkte schliessen, ,, . 

 welche im Bereiche des von der angenommenen Umgebungslinie eingeschlossenen Baumes enthalten sind. 

 Durch fortschreitenden Übergang zu kleineren und kleineren Partialrechtecken wird es endlich gelingen, 

 die einzelnen Wurzelpunkte von einander zu sondern , und auf diese Weise zu Systemen von angenäherten 

 und zusammengehörigen Wertben von 



zu gelangen, welche den Gleichungen gleichzeitig genügen, und als angenäherte Wurzelsysteme dieser Glei- 

 chungen gelten. 



Um die sämmtlichen Wurzelsysteme der Gleichungen (1) zu erhalten muss man natürlicher Weise jedes 

 der Wurzelsysteme der Gleichungen (14) nach der in (16) beschriebenen Weise, und zwar mit Rücksicht auf 

 eine gehörig ausgedehnte, um den Axenursprung herum gelegte Umgebungslinie zur Verwendung gelangen 

 lassen, und dann erst durch Übergang zu immer kleineren und kleineren Unterabtheilungen, die im Bereiche,] 7, 

 der Totalumgebuugslinie angedeuteten Wurzelpunkte von einander sondern. 



Es ist kaum nöthig zu bemerken, wie man zu verfahren habe, um im Sinne (27) §. 3 die Anzahl der 

 zwischen zwei Parallelen sich vorfindenden Wurzelpunkte zu ermitteln. Auch sieht man ein, dass dieser zur 

 Trennung der Wurzeln vorgeschriebene Weg darauf beruht, dass man die Möglichkeit voraussetzt, die Auf- 

 lösung von (w — 1) Gleichungen vollständig zu bewirken , um hiedurch die Auflösung eines Systemes von /; 

 Gleichungen zu vermitteln. 



Hieraus leitet sich folgendes Verfahren ab : 



Man betrachte den Axenursprung als den Initialpunkt der Umgebungslinien und setze zu diesem Behüte 



•^2 + «>2 = -^3 + *>3 = '^'4 + ^'1/1 = - • . = .i-„ + iy„ = 0. (18) 



Löse die Gleichung F'(x) = U auf Grund der Annahme (18) auf, und findet alle möglichen Werthe des 

 Ausdruckes {x^ -\- *;/,). Mit jedem dieser Werthe verfügt man sich zum Durchlaufen der im Axenpunkte 



