Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 261 



Diese können für gehörig kleine jedoch zweckmässig gewählte Werthe s' , e" . . . e("J die Eigenschaft 

 erhalten, dass in Bezug auf beliebige in (1) vorgelegte Gleichung die Relation 



Zl-V.l>Zl + kl (28) 



Platz greift. In dieser Weise fortfahrend, gelangt man durch fortgesetzte Correction der als Initialwerthe an- 

 gesehenen vorhergehenden Werthe zu einem Werthsysteme , für welches die entsprechenden Substitutions- 

 resultate der vorgezeichneten Genauigkeit unbeschadet vernachlässigbare , kleine Werthe annehmen , und 

 welches demgemäss in erster Annäherung als ein den Gleichungen (V) entsprechendes Wurzelsystem selbst 

 angesehen werden kann. 



ffiethode der regnlären Einengung der Warzelwerthe. 



Seien 



8={x^-\- ly^ , rTj, + ii/^ . . a\ -f iy„) ; S=(d^^ +^j/^ , a-j -f >i/^ . . . x„ +ty„) (2^) 



zwei Werthsysteme, deren Wechselbeziehung für beliebige Zeiger in den Gleichungen 



i^x + T, y = y + T, r=10-'- (30) 



bei Constanten r und >• charakterisirt werden möge. 



Das erste Werthsystem in (29) sei dem wahren Wurzelwerthsystem dermassen angenähert, dass man 

 es aus demselben als abgeleitet sich denken kann , in der Weise , dass man in den x- und »/-Werthen des 

 Wurzelwerthsystemes alle mit den Stellenzeigern ^(»--1-1), — (r-|-2), — (''+3) . ■ . versebenen Ziffern C3]) 

 weglässt. Demgemäss sind die x- und y- Werthe von S sämmtlich numerisch kleiner , und die .r- und 

 //-Werthe von jS sämmtlich numerisch grösser , als die entsprechenden x- und ?/- Werthe im Wurzelwerth- ' 

 Systeme = ®. Aus S und »S wollen wir zwei numerisch mittlere Werthsysteme S und S ableiten, von der 

 Beschaffenheit, dass in Beziehung der numerischen x- und ^/-Werthe die Relationen 



S<S<<B<S<S (32) 



stattfinden. 



Die abgeleiteten Werthsysteme können auf folgende Art dargestellt werden : 



tr III 



S=(x^+iy^, x^-\-ii\, . . . x„+ty„); S=(x^+^yJ, x^ + iy^, . ■ . x„ + iJ/„) (33) 



mit den für beliebige, den y und x angehängte Zeiger geltenden Bestimmungsgleichungen : 



x==x + t£; ic = x — rC = a; + r(l— C) . 



X — £c = r(l — i — ^) = T^; y — ?/ = t(1 — r, — ri') = r„. (35) 



Setzt man ausserdem : 



z^ Dl + 4D;;= ^, ; h^ (Df-Df) + 2D^I),,Z, = z,.2 



(36) 



und erklärt überhaupt, dass durch die über Z, z gesetzten Striche auf die entsprechenden Werthe von x und 

 y in der durch Z und z ausgedrückten Function hingedeutet wird, dass dagegen die unter Z, z gelegten 

 Striche von den in der Differentationsdeterminante spielenden f und r, entlehnt sind, so erhält man in Bezug 

 auf die Systeme S, S, S folgende mit der zweiten Potenz des klein gedachten r abgeschlossene Relationen: 



