268 Lorenz Zniurko. 



Nachdem wir in der bisherigen Untersuchung genügende Anhaltspunkte gewonnen haben, um den Ein- 

 fluss des Überganges durch eine Verschwindungsstelle consecutiver Z-Functionen auf die betreffende Func- 

 tions- als auch auf die Orientirungszeichengruppe gehörig zu würdigen , wollen wir uns bestreben , in einer 

 (13)fiir die weiteren Zwecke passenden Weise die Frage zu beantworten: von wie viel complexen Wur- 

 zeln der Gleichung Zr^n-^ = ^ der einer solchen Verschwindungsstelle zukommende 

 tc-Werth als ein indicatorischer Werth betrachtet werden soll. 



Nach der im (4) angedeuteten Weise finden wir für ein sehr kleines p : 



,m+l 



[m-\-l) Zr-„ 



- p'"+* = g"'+t 



Ist £ eine gehörig kleine positive Grösse , so können wir immerhin p der Art bestinnnen , dass die 

 Relation 



Z^ 



m — I 



erfüllt wird. 



Durch Auflösung dieser Gleichung in Bezug aut p finden wir mit Rücksicht auf den Umstand, dass 



-= — ^ ^ sich ergeben kann, folgende Relationen : 



[ Z 1 ' 



(15) für -j-~^~ > . . . p = (— D^i+T ^f '• ) 7 . £ ; 



(16) für -^^ < . . . p = (+1);^ )(- r . , . 

 In jedem dieser Fälle erhalten wir aus (14): 



hiemit in numerischer Beziehung 



Da jeder der Ausdrücke ( — 1)'"+' und (-|-1)"'+' auf eine Anzahl vou je (/«-|-1) Werthen hindeutet, so 

 schliessen wir gerade so, wie in §. 1, dass der einer Verschwindungsstelle von m consecutiven ^-Functio- 

 nen entsprechende *•- Werth als Initialwerth von (w+l) Wurzeln der Gleichung 



(18) Z,._,„_, =0 



angesehen werden darf, sobald man im Ausdrucke ^,._m_i den Buchstaben .;• als die Unbekannte ansieht. 



Ist nun in (15) m gerade, so ist Einer der (w+l) Werthe von ( — l)™+i ein negativ - primärer ; in die- 

 sem Falle ist der betreffende a'-Werth ein indicatorischer Werth von m complexen Wurzeln der Glei- 



chung (18). Ist in (15) m ungerade, so ist keiner der (w+1) möghchen Werthe von ( — 1)™+' primär. In 



(19) diesem Falle indicirt der betreffende ic- Werth (m-|-l) complexe Wurzeln in (18). 



Ist in (16) m gerade, so ist Einer der (m+1) möglichen Werthe von (+1)™+* ein positiv-primärer, und 

 der betreffende x- Werth indicirt in diesem Falle m complexe Wurzeln in (18). 



Ist endlich in (16) m ungerade, so sind zwei der möglichen (m-|-l) Werthe von (-|-1)"'+' primär, und 

 der betreffende ^-Werth indicirt in diesem Falle (»< — 1) Wurzeln in (18). 



