Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 2G9 



Ausserdem wissen wir aus der in §. I stib (62) niedergelegten Aussage, dass ein indicatoriseher j-Wertli 

 von complexen Wurzeln in (18) auch als ein indicatoriseher a;-Werth von eben so vielen cornplexen Wurzeln 

 der Gleiohung 



^o = /0^~> = O (201 



angesehen werden darf. 



Auf Grund der in (19) und (20) niedergelegten Aussagen können wir sehr leicht folgende Gesetze aus- 

 sprechen : 



a' ) Ein ic-Werth , für welchen eine gerade Anzahl conseeutiver .^-Functionen verschwinden , indlcirt 

 eben so viele coniplexe Wurzeln in (20). sobald die Function Z^ nicht gleichzeitig verschwindet. 

 j3') Ein x-Werth, für welchen eine ungerade Anzahl conseeutiver i^- Functionen verschwinden, und 

 der Ausdruck Z^^ von Null verschieden sieh ergibt, indicirt in (20) eben so viele eomplexe Wur- 

 zeln mehr oder weniger Eine , je nachdem die verschwindende Functionsgruppe zwischen gleich 

 oder verschieden bezeichneten Z-Functionen enthalten ist. 

 y ) Ein a-Wertli, für welchen eine Anzahl von consecutiven Endfunctionen in der Reihe 



Z„. Z„_,, Z„^^...Z^, Z^. Z,. Z^ (21) 



gleichzeitig verschwinden, indicirt eben so viele unter einander gleiche primäre Wurzeln in (20). 

 'j') Es kann sich auch ereignen, dass in Folge eines .<-Werthes an mehren Stellen der Function.sreihe 

 (21) die Z- Functionen gruppenweise zum gleichzeitigen Verschwinden gelangen; — in diesem 

 Falle ermittle man nach der eben angeführten Vorschrift in Bezug auf jede einzelne Functions- /l,.,) 

 gruppe insbesondere die Anzahl der indicirten Wurzeln und erkläre demgemäss den a;-Werth als 

 den indicatorischen Werth der so ermittelten Gesammtzahl der Wurzeln in (20). Hieraus sieht man, 

 dass ein .r-Werth unter Umständen gleichzeitig eomplexe und auch gleiche primäre Wurzeln in (20) 

 indiciren darf, sobald man unter den gleichzeitig verschwindenden Z-Gruppen auch eine Gruppe 

 von consecutiven Endfunctionen in (21) antrifft. 

 Wir haben die Gesetze a), ß), 7), 0), «), j3'), -/'), d' ) auf Grund der Gleichungen (4) und (14) abge- 

 leitet, und überlassen es dem Leser, dieselben Gesetze aus den allgemeinen Betrachtungen über conjugirte (23) 

 Curvenzweige, und namentlich aus dem Gesichtspunkte des in (18) §. 2 niedergelegten Resultates abzu- 

 leiten. 



Im .\ngesichte dieser sub (10) bis (27) §. 2 geführten Untersuchungen sind die in (21) angeführten 

 Gesetze in der Aussicht auf die kleinstmöglichste Anzahl der indicirten Wurzeln stipulirt , welche durch die 

 aus den singulären und den Bedingungen 



Z =Z = Z = .=Z =0 



entsprechenden Funkten ausgehende conjugirtc Curvenzweige angedeutet werden. Im Folgenden soll bethä- 

 tigt werden, dass die in (21) präliminirte Anzahl der indicirten Wurzeln geradezu die gichtige sei, dass 

 somit im Verfolg der genannten Curvenzweige diese Anzahl nicht überschritten werden darf. 



Zu diesem Ende denken wir uns die Functionsreihe (21) , deren Glieder abwechselnd der geraden und 

 ungeraden Ordnung in Bezug auf die Unbekannte x angehören. Das sub (68), (70) §. 3 bestimmte Inter- 

 vall I — // , /,] , welches alle primären Wurzelpunkte der Gleichungen 



Z„_i = Z„_2 = Z„_i = . . = Z^= Z^^= Z^ = |94) 



beherbergt, verwende man dazu, um für alle möglichen Zwischeustellen derselben die in (21) angeführten 

 /^-Functionen auszuwerthen und die jedesmalige Zeichengruppe zu ermitteln. Für a-= — L' erhält man 

 offenbar eine Zeichengruppe , welche lauter Zeichenwechsel , und zwar in der Anzahl n bietet. Eben so 

 erhält man für x= L eine n Zeichenfolgen bietende Zeichengruppe. Beim Durchschreiten des Intervalls von 



