270 L r p n z Z m u r k o. 



—L gegen L hin gelangt man eventuell theils zu denjenigen Stellen , welclie ein gleiclizeiliges Verschwin- 

 den von Endfunctionen in (21) verursachen , theils zu solchen , welche ein gleichzeitiges Verschwinden von 

 Mittelgruppen, theils endlich zu solchen, welche ein gleichzeitiges Verschwinden von Mittel- und Eudgrup- 

 pen der Functionen dieser Reihe zur Folge haben. In jedem dieser Fälle, und sonst in keinem anderen Falle 

 geht eine nach a), ß), 7) bestimmte Anzahl Zeichenwechsel verloren, und niemals wird man in der angedeu- 

 teten Richtung das Intervall durchschreitend veranlasst, die verlornen Zeichenwechsel wieder zu gewinnen. 

 Im Verfolg des ganzen Intervalls gehen n Zeichenwechsel, also gerade so viele Zeichenwechsel in Verluist, 



(25) ;ils Wurzeln der Gleichung (20) angehören. 



Aus 7), 7') ersieht man, dass die Anzahl der primären Wurzeln in (20) blos aus dem nach und nach 

 zum Vorschein kommenden Verschwinden von Endfunctionen ermittelt wird. Die in Verlust gehende, aus 

 dem Verschwinden von Mittelgruppen zu ermittelnde Anzahl von Zeichenwechseln ist immer gerade und 

 entspricht geradezu der Anzahl der complexen Wurzeln in (20). Diese Anzahl wird offenbar durch die nach 

 a), ß) eben so gut, wie durch die nach «'), ß) zu beniessende Tragweite der indicatorischen a;-Werthe ge- 

 bleckt und es darf die erwähnte Tragweite der indicatorischen a3-Werthe nicht in der Art beirrt werden, 



dass man auf Rechnung irgend eines derselben mehr complexe Wurzeln in Anschlag bringt, als es die Ge- 

 setze OL), ß), «'); ß') gestatten, weil man sonst im Widerspruche mit der unleugbaren Thatsache zugeben 

 müsste, dass in demselben Maasse irgend ein anderer indicatorischer a;-Werth weniger complexe Wurzeln an- 

 deuten soll, als er hiezu nach a), ß), «'), ß') ganz gewiss befähigt und unnachsichllich berufen ist. 



In Erwägung der in (25) mitgetheilten Auseinandersetzung gelten die in a'), ß'), 7) angeführten Gesetze 



(2G) nicht nur in Bezug auf die vollständige in (21) vorgeführte Functionsreihe, sondern auch in Bezug auf jede 

 andere Functionsreihe, welche aus (21) durch Weglassung einer beliebigen Anzahl von Endgliedern her- 

 vorgeht. 



Für a; = Ü stellen in (1) die Coefficienten 



(27; 1, A„_i, An--, .4„_3 . . . Jj, A^, .1,, 



eine Reihe dar, welche diesfällig mit (21) dieselbe Zeichengruppe liefert. Die Anzahl der hieraus resultiren- 

 den Zeichenfolgen zeigt an, wie viele Zeichenwechsel innerhalb des negativen Intervalls [ — L, 0] in Verlust 

 gerathen sind , und gibt kund , dass die Gleichung (1) höchstens eben so viele negativ-primäre Wurzeln 

 besitzen kann. Eben so deutet die Anzahl der in (27) vorfindigen Zeichenwechsel die höchstmögliche Anzahl 

 von positiven Wurzeln an , welche der Gleichung (1) zukommen dürfen. Sind in der Reihe (27) eine oder 

 mehre abgesonderte Gruppen von je aufeinanderfolgenden mit Nullwerthen begabten Coefficienten vorhan- 

 den, so erklärt man den Werth a.- = als einen indicatorischen x'-Werth von Wurzeln, deren Anzahl nach 

 a'), ß'), 7) in der gewöhnlichen Weise eruirt wird. Einzelne mit Nullwerth versehene mittlere Coefficienten 

 tragen zur Indication von complexen Wurzelpaaren nur dann bei, wenn solche zwischen gleichbezeichneten 

 Nachbarcoefficienten ihre Stelle einnehmen. 



Bezeichnen wir, wie in (59) §. 4 die Functionsreihe 



a a a a 



1 . Zn— i ; ^n—i ■ ■ • ^r—l , ^r 



mit {i^X., und die Anzahl der dieser Reihe entsprechenden Zeichenwechsel mit («)^, so deutet für ß < a der 

 Ausdruck 



(29 1 b,.= (ß),-(a), 



den Verlust der Zeichenwechsel an, welcher sich beim Übergang von .c= a bis .c = ß in der Functionsreihe 

 |aj,. darbietet. 



Für jedes Intervall («, ß) erhält man mit Bezugnahme auf jede /^-Function als Schlussglied der mit 

 Z„ = 1 beginnenden Reihe die entsprechenden mit b bezeichneten Indices und zwar in folgender 

 Anordnung : 



