Stnih'nn im Gebiete numerischer Gleichungen. 2 i I 



b„_, , &„_j. b„_3 ■ ■ b,v bj . b, • b,,. fSO) 



Reim Übergänge von 1«]^ in faj,_, wird entweder keiner oder Ein Zeiehenwechsel gewonnen. Aus 

 diesem Grunde kann die Vergieichnng zweier aufeinander folgenden b blos eine der folgenden Relationen 

 darbieten : 



b,._, = b,.. b._, = b,. + 1. b,_, =b, — 1. O^i) 



Ist etwa b^=« und b^_j = M + '". ""^ besitzt keines von den zwischen b,. und b,-, liegende b den 

 Werth u, so kann man behaupten, dass nothwendig 



b._, = «+1 (3-') 



sich ergeben muss. Es kann nämlich der Voraussetzung gemäss b,._, den Werth u nicht annehmen, aber 

 auch nicht den Werth {u — 1), weil sonst gegen unsere Voraussetzung dieser Werth beim Anwachsen bis zur 

 Grösse {u-\-rn] durch den Werth ?< passiren miisste. Dies und das in (31) Angeführte ist genügend, um die 

 Relation (32) zu verbürgen. 



Erhält man im Intervall (aß) etwa b,. = b,._, = 1, so ist dies ein Zeichen, dass innerhalb des Intervalls 

 (aß) eine Wurzel der Gleichung Zr_, =0 und eine Wurzel der Gleichung Z^ = enthalten ist. Diese Wur- 

 zeln, welche wir etwa mit Xr, a;,_, bezeichnen, können nicht einander gleich sein, weil eine diesen Glei- 

 chungen gemeinschaftlich angehörende Wurzel gegen die Voraussetzung b^_,^l der Gleichung .^^_, ^o 

 als eine Doppelwurzel angehören müsste. Sind diese Wurzeln verschieden, und etwa Xr>Xr-^ , so kann (.-33) 

 man sich v als der Relation x^ > ?• > «,._, genügend vorstellen, und sieht ein, dass in dem engeren Intervall 

 («;•) für Z,._, = Eine, und für Z,.^0 gar keine Wurzel in Aussieht steht, das somit in Bezug auf das In- 

 tervall (a») die Indexwerthe br= 0, br_, =1 sich ergeben müssen. Sollte sich jedoch Xr<x^_^ ergeben, und 

 ist w eine zwischen x^ und j;,._, liegende Zahl , so wird diesfällig in dem engeren Intervall (vß) sich ganz 

 gewiss b^ = 0, br_, = 1 ergeben. 



Es kann sich auch ereignen, dass neben b,._, = 1 der Index br=2 sich ergibt, und auf zwei Wurzeln 

 av, ic/ hindeutet. Diese Wurzeln können nur primär sein, weil sonst im Widenspruche mit b,._, = 1 inner- 

 halb des gedachten Intervalles auch für Z,._, = zwei coniplexe Wurzeln indicirt wären. Mag nun die offen- '■*^' 

 bar primäre Wurzel a;,_, in das Intervall (xrX,.) oder ausserhalb dieses Intervalles fallen, so lässt sich im 

 ersten Falle innerhalb (x^x/), im zweiten Falle ausserhalb dieses Intervalles ein engeres Intervall (a' ß') 

 bestimmen, welches die Erscheinung b^^O, br_, = 1 darbietet. 



Ist im Intervall (aß) b9 = 2, so sind in Z^^^O zwei Wurzeln x^, x^ angedeutet. Sind diese Wurzeln 

 primär und etwa x^>x^, ist ferner v eine zwischen .r, und x^ liegende Zahl, so besitzt die Gleichung Z„ = 

 in den Intervallen (<xv) und (vß) je eine primärere Wurzel, und man erhält für jedes derselben bj= 1. Im 

 Intervall (aß) kann neben b(, = 2 der Index b, höchstens den Werth 3 annehmen. Sind die der Gleichung 

 Z„ = Ü gehörigen Wurzeln x^, x^ primär, so wird von den drei in Z^ = angedeuteten Wurzeln Eine ganz 

 gewiss primär und im Intervall (x^ , x^) enthalten sein , die übrigen zwei dürfen nicht complex sein , weil 

 sonst auch a?, und x^ im Widerspruch mit der Voraussetzung complex sein müssten. Es bleibt uns nur übrig, 

 alle drei als primär anzunehmen , es erscheint jedoch nicht zulässig, dass alle drei in das Intervall (x^ x^) 

 fallen, denn in diesem Falle können wir uns einen Werth v denken, welcher kleiner ist als die kleinste von ^ ^ 

 den drei Wurzeln in Z, =0, und grösser als die kleinste in Z^^ = 0, und müssten schliesslich ein Intervall 

 (at)) zugeben, welches im Widerspruche mit (31) die Zeigergruppe b, =3, b,, = 1 darbietet. Es ist auch 

 nicht gestattet, zuzugeben, dass zwei Wurzeln der Gleichung Z, = in das Intervall (x, x^} fallen, weil man 

 hiedurch wieder im Widerspruche mit (31) ein Intervall befürworten würde, welches mit Ausschluss der Wur- 

 zeln x^ a'j blos die zwei Wurzeln der Gleichung Z^ ^ beherbergt , und demgemäss die Indexgruppe 

 (b, = -' , bj = 0) darbietet. Hieraus sieht man ein, dass man das Intervall (aß) immerhin durch ein anderes 

 Subintervall ersetzen kann, welches die Zeichengruppe (b, = 1, b„ = 2) aufwei.st. 



