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Die angeführten Beweise verbleiben in Kraft, mögen die primären durch b,)=2 angedeuteten Wur/,tlii 

 X , X beliebig nahe an einander gedacht werden, und selbst noch dann, wenn diese Wurzeln unter einander 

 und mit der zwischen ihnen enthaltenen Wurzel der Gleichung Z, = sich ausgleichen. Das hieraus flies- 

 sende Ergebniss lässt sich schliesslich auf folgende Weise ausprägen: 



Sind in einem Intervall bloss zwei, und zwar zwei primäre Wurzeln der Gleichung 

 (37)^0=0 angedeutet, so ist entweder schon in diesem Intervall, oder in einem gehörig 

 engeren neben bj=2 der Index b, = 1 zu gewärtigen. 



Es ist klar, dass der in (37) ausgesprochene Satz auf beliebig bezeigerte Functionen Z^ Zr-^ seine (411- 

 tigkeit beibehält. Wenn man ausserdem den in (33), (34) ausgesprochenen Satz beherzigt , so gelangt man 

 sehr leicht zu folgender Behauptung : 



Sind im Intervall (aß) zwei primäre Wurzeln der Gleichung Z^_, = U angedeutet, so lassen sich ent- 

 weder durch passende Zerklüftung des Intervalls (a ß) zwei Intervalle finden, von denen jedes eine Wurzel 

 (38) der Gleichung Z^_, =0 beherbergt und b,._, = 1 aufweist, oder es wird sich das Intervall (« ß) durch ein 

 anderes engeres Intervall («'ß') ersetzen lassen, welches die Indexgruppe (b;.+i=0, b^=], b,_, = 2i 

 kundgibt. 



Sind jedoch im Intervall (a ß) mittelst (bo = 2) in Z^ = 0) zwei coniplexe Wurzeln angedeutet, so ent- 

 spricht demselben den in (21) ausgesprochenen Gesetzen gemäss ein indicatorischer a;-Werth , welcher ent- 

 weder einer einzelnen von den intermediären Functionen Z^, Z^, Z^ . . . Z^-i , etwa der Function Z^ den 

 NuUwerth ertheilt, nnd gleichzeitig den Nachbarfunctionen Zr+^, Z^-^ gleichbezeichnete Werthe beibringt; — 

 oder es verschwinden für diesen a-Werth drei aufeinanderfolgende Z-Functionen, etwa Z,., Z,.-^, Z,_^, wäh- 

 /39j rend die sich denselben anschliessenden Functionen Zr+^, Z^_^ entgegengesetzt bezeichnete Werthe anneh- 

 men. In jedem dieser Fälle lässt sich innerhalb (« ß) ein Partialintervall (aß) bestimmen, welches den in- 

 dicatorischen «-Werth gehörig eng einschliesst und in Bezug auf Z,.+, , Zr, ^r-, die Indexgruppe (b,.+, = 0, 

 br=l, b,_, = 2) zum Vorschein bringt. Falls der indicatorische a-Werth der Function Z^ den Nullwerth 

 und den Functionen Z^, Z^^ gleichbezeichnete Werthe ertheilen sollte, wird es nicht schwer sein, ein Partial- 

 intervall (aß) zu bestimmen, welches sich durch die Indexgruppe (bj = 0, b, = 1 , bu = 2) manifestirt. 



Aus (38) und (39) ersehen wir, dass man im Intervall (aß) sich darbietende Indexgruppe (b,+, =0, 

 b^= 1 , br_, = 2) noch kein Gepräge mit sich führt, ob man die zwei in .^,_j = angedeuteten Wurzein als 

 primäre verschiedene, primäre einander gleiche, oder gar als ein Paar von conjugirten complexen Wurzeln 

 anzusehen habe, weil eben jede dieser Gattungen von Wurzelpaaren fähig ist, die erwähnte Zeichengruppe 

 zu veranlassen. Aus diesem Grunde wird ein solches Intervall ein zweifelhaftes Intervall genannt. 

 Nach Fourier lässt sich zeigen, in welcher Weise die einer derartigen Indexgruppe entsprechenden Fune- 

 tionswerthe Z^+j, Z^, .2,._, selbst verwendet werden sollen, um ein in dieser Beziehung entscheidendes Kri- 

 terium zu gewinnen. 



Soll die Zeigergruppe 



(41) b,.+, =0, b.= l, b._, = 2 



auf zwei primäre Wurzeln x < x der Gleichung Z^^^ = deuten, so bilde man sich zum Behüte der Auffin- 

 dung des betreffenden Criteriums dem Intervall (« ß) entsprechend die Functionsreihen : 



(42) \^\—\ = Zn—i 1 ■ ■ Z,+ ^ , Z,., Zr-, , [ß]r-, = Z„_, . . . Zr+, , Z,, Z,_, 



und erhält der Indexgruppe (41) gemäss die Orientirungsquotienten : 



Q,_, < , Qr<0] hiemit C>,_, Q, = {k-, ■ >• {'■+]) 1,+, ) > 

 (43) 



a-, > , (^. > „ y,_, a = (^,.-, : '•('•+ 1 ) Z,+ , ) > U 



