Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 273 



da wegen b,.+, = Zr+^ nnd Zr+, gleichbezeicbnet sein müssen, so erscheinen auch Zr-^ und ^r_, mit 

 gleichen Vorzeichen behaftet. In Bezug auf die Descartes'sche Curve z= Z^_^ sind die den Satzungen 

 x=a und .r = ß entsprechenden Curvenpunkte beide Convexitätspunkte, und man erhält demgeraäss nähe- 

 rungsweise 



a r 



i = « — Qr-^ , X = ß— (^,_, , hiemit wegen x <, x 



(U) 



ß — « > 9,_, — Qr-i ■ 

 ß 



Hier sind wegen b^-, die Werthe Q^-t und — ör-i beide positiv und veranlassen in Betreff (ii) fol- 

 gende Aussage : 



Sind in einem zweifelhaften Intervall (aß) zwei primäre Wurzeln einer Gleichung 

 angedeutet, so muss die Summe der numerischen Werthe der Orientirungsquotienten (45) 

 kleiner ausfallen, als die Längeuzahl des Intervalls selbst. 



Sind aber die der Indexgruppe (41) entsprechenden Wurzeln der Gleichung Z^-i =0 complex , so ist 

 innerhalb (a ;3) für Z^-t keine Verschwindungsstelle zu erwarten , während die Function Z^ bei der Ein- 

 engung des Intervalls wegen b^ = 1 sich immer mehr und mehr dem NuUwerthe nähert. In diesem Falle 

 gelangt der Orientirungsquotus Q,.-t ^ Z^_i : r Z^ bei gehöriger Einengung des Intervalls zu einer Grösse, 

 welche nicht nur sich mit der entsprechenden Intervallänge ausgleicht, sondern auch weit über dieselbe hin- 

 ausragt. 



p 

 Wenn also eine von den Grössen — Q,._^ , Q^-^ oder ihre Summe sich grösser gestal- 

 tet, als die betreffende Intervalllänge (|3 — «), so ist dies ein sicheres Kennzeichen, C46) 

 dass die mittelst br-, = 2 angedeuteten Wurzeln der Gleichung Z^_, = sich com- 

 plex gestalten müssen. 



Wenn bei der Indexgruppe (41) in Bezug auf (« ß) das Kriterium (46) nicht eintrifft, so erwartet man 

 zwar ein primäres Wurzelpaar in Z^_^ = und benimmt sich bei Einengung des Intervalls in der Weise, 

 dass man auf die Wurzel der Gleichung Zr = lossteuert, in der Hoffnung, die eventuell möglichen primä- 

 ren Wurzeln der Gleichung Z^^^ = von einander zu trennen. Ergibt sich in dem neu erhaltenen engeren 

 Intervall die Indexgruppe (41) wieder, und findet das Kriterium (46) nicht statt, so sehe man nach, ob nicht 

 während der Annäherung von Z,. an den Nullwerth gleichzeitig auch Z^_^ , und sogar noch rascher sich der 

 Null nähert. Dies veranlasst die Vermiithung, ob nicht etwa das in Z^_^^= angedeutete Wurzelpaar ein 

 Paar von gleichen Wurzeln ausmacht, — und man wird sich hievon auf folgende Weise überzeugen : (4'') 



Man suche zwischen Z, und Z^—^ das grösste gemeinschaftHche Mass, — findet man etwa y [x) von der 

 Beschaffenheit , dass demselben innerhalb (a jS) eine Verschwindungsstelle entspricht , so ist man hiedurch 

 versichert von der Existenz eines Paares gleicher Wurzeln in Z,._^ = 0. Wenn aber Z^ und Z;._, kein 

 gemeinschaftliches Mass oder etwa ein solches gemeinschaftliches Mass y(,r) besitzen, welches innerhalb 

 (a j3) keine Verschwindungsstelle aufweist , so kann man behaupten , dass die in Z,._, = angedeuteten 

 Wurzeln entweder von einander verschiedene primäre sind , oder gar eiue complexe Natur besitzen. Durch 

 weiteres Lossteuern auf die Wurzel der Gleichung Z^ = gelangt man früher oder später entweder zur 

 Trennung der primären , oder falls solche nicht vorhanden sind , zum entscheidenden Stattfiuden des 

 Kriteriums (46). 



Ist man bereits auf ein Intervall (a ß) von der Beschaffenheit gekommen , dass sich in Bezug auf das- 

 selbe die Indexgruppe 



K+i = b.+, = , b. = 1 , K-i = 2 ■ (48) 



einstellt , so lässt sich einerseits die reguläre Berechnung der Wurzel der Gleichung Z,. = vornehmen, 

 andererseits könnte man diesfällig an die Stelle der Descartes'sehen Curve s = Zr_, eine jiarabolische 



Denkschriften der mathem.-naturv. C'l. XXX. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedern. kk 



