274 Lorenz Zmurko. 



BerUhrungscurve setzen, welche in BetreflF der Natur der mit br_, = 2 angedeuteten Wurzeln der Gleichung, 

 wie wir es bald sehen werden, einfache und entscheidende Kriterien bieten wird. 



In Bezug auf die Intervallgrenzen « und ß erhalten wir zur angenäherten Ermittlung der fraglichen zwei 

 Wurzeln folgende Gleichungen : 



(49) £-, + [i'j k{x-o.) + [''+^] i„+, (a;-ay = U ; £_, + ['jj k{x~^) + ["t ^]1+, {x-^Y=0. 



Dividirt man die erste dieser Gleichungen mit A -^r+i , die zweite mit 9 Zr+, , so erhält man 

 nach Einführung der Orientirungsquotienten folgende Relationen : 



(50) (a--«)^+ 2 Q^{x-a)+2 Q^ §,_, = ; (x-ß)^+ 2 4 {cc-^) + 2 0. 4-, = 0, 

 hieraus zur Angabe der Näherungswerthe von x: 



- 1 \ "1 / ^ « « ^ ^ 1 / P ß P 



^••''^' a^-«=-ö. ± 1/ 2aaa— a-,); ^-ß=-e. ± K 2 ö.dör- <?.-,)• 



Wegen br'*"g = behält Zr+^ innerhalb (« ]3) ein constantes Vorzeichen, und ^^-|_, nimmt entweder 



beständig zu oder beständig ab. Bezeichnet man von den Werthen Zr-\-^ , ^r+i den numerisch grösseren mit 

 -?,+, und den numerisch kleineren mit Z,._^.^ , so ist ganz gewiss Zr+i der numerisch grösste und Z^+i der 



numerisch kleinste derjenigen Werthe, welche Z^^^ innerhalb (a ß) anzunehmen vermag. 



« ß 



Führt man in (49) an die Stelle von Z,_^.^ und Zr+^ die Grösse Zr+^ ein , so werden die betreffenden 



V 



Berührungscurven sich in Bezug auf die Descartes'sche Curve z = Z,_^ auf der Seite ihrer Concavität 

 ^■''^' lagern, und demgemäss wird die gegen ox convexe Curze z = Z,._^ diese Axe um so eher schneiden, sobald 

 man dies von ihren Concavitätsberührungscurveu behaupten kann. 



Führt man in (49) an die Stelle von Zr+^ , ^,.+, den Werth .^,+, ein, so werden die betreffenden Berüh- 

 rungscurven in Bezug auf die Descartes'sche Curve auf der Seite ihrer Convexität lagern, und demgemäss 

 wird die gegen ox convexe Curve z = Zr^^ diese Axe desto weniger treffen, sobald man behaupten kann, 

 dass die CouvexitätsberUhrungscurven mit ox gar nicht zusammenkommen. 



Im Fall (52) erhält man : 



Z, : (r+ 1 ) Z, = Ö. ; Zr-. {r+ 1) Z^ = Q^ , hiemit 



(54) 



a;_«=_^,.± |/2a(j^.-a-,); ^-ß = -a± |/2d(^a-a-,) • 



Im Fall (53) erhält man auf gleiche Weise : 



"l/aaa °-,l/ßßß 



(55) ar— «=—(?,+ 1/ 2 a(ia -<?.-.)■' ^-ß = -Qr+ V 2Q^(iQr-Q,-0- 



Wenn nun in numerischer Beziehung von den Relationen 



(56) Qr-t<\Qr , Qr-,<\Qr 



wenigstens Eine zutrifft, so wird das betreffende Resultat in (54) sich primär ergeben, die betreflende Con- 

 cavitätsberührungscurve wird demnach die Axe ox schneiden, und um so eher wird ein Schnitt der Curve 



