Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. '270 



3=Z^_, mit ox erfolgen. In diesem Falle sind die mittelst b,_, = 2 angedeuteten Wurzeln der Gleichung 

 Z^,, =0 primär. 



Wenn dagegen ebenfalls in numerischer Beziehung von den Relationen 



wenigstens Eine erfüllt wird, so wird das betreffende Resultat in (55) sich in complexer Form ergeben. Die 

 betreffende Convexitätsberührungscurve begegnet der Axe ox gar nicht , und man wird um desto weniger 

 der Curve z=Zr-^ eine Begegnung mit ox zumuthen. Man wird schliesslich erklären, dass diesfällig die 

 mittelst b,_, = 2 angedeuteten Wurzeln ein complexes Wurzelpaar bilden. 



Sollte sich jedoch jede der in (56) und (57) angeführten Ungleichheiten in verkehrter Anordnung erge- 

 ben , so wird in einem solchen Falle in Betreff der Natnr des mittelst b,_, = 2 angedeuteten Wurzelpaares 

 kein sicherer Schluss gestattet sein. Das betreffende Intervall muss vielmehr durch ein anderes engeres In- 

 tervall ersetzt werden , um auf Grundlage des letzteren zur endgiUigen Entscheidung über die Natur dieser 

 Wurzeln zu gelangen. 



Faest man die Orientirungsquotienten blos in numerischer Beziehung auf, so lassen sich die Gesetze (56) 

 und (57) auf folgende Weise ausprägen: 



Ergibt sich im Intervall (a jS) Einer der Orientirungsquotienten kleiner als die 

 Hälfte des schwachen nächst höher bezeigerten Orientirungsquotienten, so sind 

 die mittelst br_, = 2 angedeuteten Wurzeln primär. 

 (^^* Ergibt sich im Intervall (a ,5) Einer der Orientirungsquotienten grösser als dic(58) 

 Hälfte des starken nächst höher bezeigerten Orientirungsquotienten, so sind die 

 mittelst b,._, = 2 angedeuteten Wurzeln coinplex. 



Auf Grundlage der entwickelten Principien können wir nun zur Aufstellung eines geregelten Verfahrens 

 schreiten , mittelst welchem in einem gegebenen Intervall (a |3) sowohl die Trennung der primären Wurzeln, 

 als auch die Angabe der indicaforiscben a-Werthe der complexcn Wurzeln der Gleichung Z„ = zu bewerk- 

 stelligen ist. 



Ist im Intervall (« ß) bo>0, so suche man in der zugehörigen Indexreihe 



b„_,, b„_2, b„_3, . . . bj, b,, b„ (59) 



von Rechts nach Links gehend, das erste b auf, welches der Einheit gleich kommt, findet man auch auf diese 

 Weise vorgehend , etwa b;.= 1, so ist man versichert, dass die Trennung der Wurzeln bis auf die Gleichung 

 Z^ = bereits gediehen ist. Es kann nämlich die im vorliegenden Intervall liegende Verschwindungsstelle 

 einer oder einiger der Functionen Z„_, , Z„_^, . . . Z,+j an die Gleichung Z, = und hiemit auch an die 

 Gleichung Zg = keinen indicaforiscben x-Werth bieten, weil sonst im Gegensatze zu b,= l für die Glei- 

 chung Z,. = wenigstens zwei complexe Wurzeln in Aussicht ständen. 



Neben b,= l wird sich wegen (32) der Index b,_, = 2 einfinden. Den Index b,+, anlangend ist der- 

 selbe entweder schon gleich Null, oder er wird mittelst Übergang zu einem Partialintervall («'ß') den Null- 

 werfh annehmen, und hiedurch für dieses Intervall (a'|3') die Indexgruppe b',.+, =0, bV = l veranlassen. 

 Die weiteren Indices bV_, , b',-,, • • . b'j, b',, b',, anlangend, ist unter denselben entweder keiner der Einheit 

 gleich, und somit bV-, = 2, oder man findet unter denselben etwa den Index bV->= 1 , welcher in (a'/3') in 

 dieser Eigenschaft dem Index b'^ am nächsten liegt. In den übrigen Parlialintervallen (aa'), {ß' ß) erhält man 

 ganz gewiss b^ = 0, und man findet etwa b,.-,= l als einen solchen Index, welcher in dieser Eigenschaft 

 dem Index b^ am nächsten liegt. Jedenfalls erscheint hier die Separation der Wurzeln und indicatorischer 

 x-Werthe in diejenige Functionspartie fortgeschoben, deren ^-Functionen lauter unter /• stehende Zeiger auf- 

 weisen. Bei fortschreitender hier angedeuteter Behandlung sind schliesslich solche Partialintervalle in Aus- 

 sicht gestellt, deren jedes in.sbcsondere b(, = oder b„= 1 aufweist. 



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